Распределение энергетических состояний электронов внутри зоны. Энергия Ферми

Энергетические, тепловые, оптические, электрические свойства кристаллов зависят от распределения по энергиям валентных электронов внутри энергетических зон, или, другими словами, распределения по энергиям внутри зон разрешенных квантовых состояний электронов. В системах, состоящих из огромного числа микрочастиц (например, твердое тело), проявляются статистические закономерности, основной особенностью которых является их вероятностный характер.

Число электронов dN(E), обладающих энергиями в интервале от Е до Е+dE, можно определить по формуле:

,

где g(E) – плотность разрешенных состояний в зоне, f(E) – функция распределения, выражающая плотность вероятности заполнения частицами данных состояний или среднее число частиц в данном квантовом состоянии <N_i>. Вид функции распределения зависит от рода частиц. В данном случае нас интересуют свободные электроны, которые ассоциируются с идеальным газом. Идеальный газ, состоящий из частиц, имеющих полуцелый спин, называется ферми-газом, а частицы – фермионами. К таким частицам относится электрон. Ферми-газ описывается квантовой статистикой Ферми- Дирака, согласно которой:

,

где E_i – энергия электрона в i-том состоянии, E_F - энергия Ферми, k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура. Из этой формулы следует, что в случае T=0 <N_i>=1, если E_i  E_F, и <N_i>=0, если E_i >E_F. В случае Т>0 <N_i> = ½, если E_i = E_F, и <N_i>→0, если E_i>E_F (рис.3). Из рисунка видно, что при T=0 все уровни с энергиями, меньшими энергии Ферми, заполнены электронами, а все уровни с энергиями, большими энергии Ферми, свободны. Таким образом, энергия (уровень) Ферми (E_F) – это максимальное значение энергии, которое может иметь электрон в металле при T=0 K. Соответствующие расчеты дают для значения уровня Ферми:

,

где m – масса электрона, n - концентрация электронов в твердом теле. Таким образом, значение уровня Ферми определяется концентрацией электронов.

Рис.3. Вероятность заполнения электронами энергетических уровней в зависимости от энергии.

Собственная проводимость полупроводников

Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники (например, Ge, Si, Se), а их проводимость называется собственной проводимостью. При

Т=0 К полупроводники имеют полностью заполненную электронами валентную зону и свободную зону проводимости, которые разделены запрещенной зоной ∆Е, ширина которой может быть от сотых долей до 3 эВ. Благодаря этому при Т=0 К и в отсутствие других внешних воздействий (освещение, нагревание, облучение и т.д.) полупроводник не проводит электрического тока. При повышении температуры начинаются переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости, находясь в которой электроны участвуют в проводимости, которая называется электронной проводимостью или проводимостью n-типа. В валентной зоне на месте ушедших электронов образуются вакансии – «дырки», которые движутся в противоположном направлении и создают дырочную или p-проводимость. Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, т.е. появляется только под воздействием внешних факторов.

В собственном полупроводнике концентрация электронов n_е равна концентрации дырок n_р, уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны (рис.4). На переброс электрона в зону проводимости затрачивается энергия активации – энергия, необходимая для создания пары электрон-дырка, равная ширине запрещенной зоны. При появлении электрона в зоне проводимости в валентной зоне возникнет дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Начало отсчета для процессов образования электрона и дырки должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.

Вывод о расположении уровня Ферми в середине запрещенной зоны собственного полупроводника может быть подтвержден математическими выкладками. Концентрация электронов в зоне проводимости равна:

,

где Е₂ – энергия, соответствующая нижней границе (дну) зоны проводимости, Е_F – энергия Ферми, Т- термодинамическая температура, С₁ – постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы электрона проводимости. Приписывая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла, эффективную массу, мы можем считать его движение свободным и описывать его движение во внешнем поле так, как описываем движение свободного электрона.

Концентрация дырок в валентной зоне:

,

где С₂ – постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы дырки, Е₁ – энергия, соответствующая верхней границе (потолку) валентной зоны. Энергия возбуждения в данном случае отсчитывается вниз от уровня Ферми (рис.4). Поскольку n_e=n_p, то

.

Рис.4. Энергетическая диаграмма собственного полупроводника.

Если эффективные массы электронов и дырок равны, то C1=C2, и, следовательно,

,

т.е. уровень Ферми действительно располагается в середине запрещенной зоны.

Удельная проводимость собственных полупроводников равна:

,

где γ₀ – постоянная, характерная для данного полупроводника. С повышением температуры проводимость полупроводников растет, так как с повышением температуры увеличивается энергия электронов, и, следовательно, увеличивается число электронов, перешедших в зону проводимости.