202d
.pdfБЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра «Техническая физика»
Лаборатория электричества и магнетизма
Лабораторная работа № 202D
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Составитель: Сидорик В. В.
Минск 1995
1
Цель работы:
Исследовать переходные процессы, возникающие при разрядке конденсатора в последовательном колебательном контуре с линейными элементами: емкостью, индуктивностью и резистором:
•Исследовать периодический колебательный процесс в контуре.
•Исследовать затухающий процесс.
•Исследовать апериодический процесс.
•Исследовать влияние емкости, индуктивности и активного сопротивления на характер процессов в контуре.
•Исследовать превращения энергии электрического и магнитного поля в контуре.
• |
Исследовать |
процессы |
изменения |
тока, |
заряда, |
напряжения |
на |
|
индуктивности и емкости. |
|
|
|
|
|
Порядок подготовки к работе:
Законспектировать в рабочую тетрадь ответы на следующие вопросы:
1. Какие колебания называются свободными?
2.Почему свободные колебания затухают в реальных контурах?
3.По какому закону убывает амплитуда свободных колебаний периодического характера?
4.Как влияет активное сопротивление R , индуктивность L и емкость С на характер свободных колебаний?
5.При каком условии в контуре имеет место периодический процесс и когда он носит апериодический характер?
Литература:
1. Калашников С.Г. Электричество. М., Наука, 1982
2.Орир Д. Физика. М., Мир, 1981
3.Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Ленинград, Энергоиздат, т.1, 1981
2
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Электромагнитные явления, происходящие в любом электро- и радиотехническом устройстве, определяются физическими процессами на заряженных телах, в проводниках, диэлектриках и окружающей среде.
При переменном токе магнитные потоки охватывают все участки и элементы электрической цепи. Индуцируется э. д. с. индукции и самоиндукции. Каждый участок и элемент цепи (реостаты, конденсаторы, участки линии) обладают индуктивностью. Между обкладками конденсатора и между витками катушки возникают токи смещения. Катушки индуктивности обладают емкостью.
Поглощение электромагнитной энергии и превращение в тепловую при переменном токе происходит во всех элементах электрической цепи. Катушка индуктивности обладает электрическим сопротивлением. В сердечниках из ферромагнетика происходят потери на гистерезис и вихревые токи. В конденсаторах имеют место потери в диэлектриках.
Таким образом, реальные электрические цепи являются цепями с распределенными параметрами. Токи и напряжения в таких цепях реально зависят от нескольких переменных
-времени и пространственных координат.
В отдельных участках цепи могут происходить процессы преобразования электромагнитной энергии и в другие виды энергии. Например, в цепях с источниками - аккумуляторами - в химическую энергию, в двигателях - в механическую.
Изменение тока и напряжения в электрических цепях приводит к взаимным преобразованиям энергии электрического и магнитного поля и, вообще говоря, к излучению энергии электромагнитного поля.
Все указанные и другие обстоятельства существенно усложняют анализ процессов в цепи.
В ряде случаев нет необходимости учитывать все сложные процессы, происходящие в цепях переменного тока. Как правило, можно сделать ряд допущений, существенно упрощающих задачу и, вместе с тем, не приводящих к нарушению адекватности описания реальных явлений.
Базовым звеном многих электро- и радиотехнических устройств является колебательный контур с RLC элементами. Анализ переходных процессов, протекающих в контуре,
обуславливает понимание функционирования и доступ к более сложным техническим устройствам.
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Равномерное распределение электрических и магнитных полей во всей электрической цепи наблюдается сравнительно редко, например, в длинных линиях. Значительно чаще такое распределение поля является существенно неравномерным.
На участке цепи, содержащей конденсатор, преобладает электрическое поле. На конденсаторе выступают на первый план явления, связанные с изменением электрического поля.
3
На катушке индуктивности доминирует магнитное поле. Основными оказываются явления, связанные с изменением магнитного поля. При не очень больших частотах можно пренебречь токами смещения между витками по сравнению с токами проводимости в самой катушке, следовательно, пренебречь емкостью катушки. Если частоты не очень малы, можно пренебречь падением напряжения на катушке по сравнению с индуцируемой э. д. с., т.е. считать равным нулю активное сопротивление катушки. При таких предположениях катушка обладает только индуктивностью L ≠ 0 , а значения R = 0 и C = 0 .
Таким образом, будем считать колебательный контур цепью с сосредоточенными параметрами. Токи электрического смещения существуют только между обкладками конденсатора. Здесь сосредоточена вся емкость C электрической цепи. Переменный магнитный поток индуцирует э. д. с. только в катушке. В катушке сосредоточена вся индуктивность L электрической цепи, а в резисторе R сосредоточено все активное сопротивление цепи. Преобразование электромагнитной энергии в тепловую происходит только на резисторе.
Наличие внешнего электромагнитного воздействия со стороны других источников, и между элементами внутри данной цепи отсутствует. Это означает равенство нулю параметра взаимной индукции.
В общем случае вольт-амперная характеристика (ВАХ) цепи U = RI , кулонвольтная характеристика (зависимость заряда конденсатора от приложенного напряжения q = CU ),
веберамперная характеристика (зависимость магнитного потокосцепления от тока Ψ = LI ) являются нелинейными (рис.1, зависимости 1). Однако в ряде случаев нелинейностью можно пренебречь и считать параметры цепи не зависящими от тока и напряжения. В этих случаях графики соответствующих зависимостей определяются прямыми линиями (рис.1, зависимости 2). Поэтому будем рассматривать электрическую цепь с линейными элементами.
Для описания электрических цепей постоянного тока достаточно линейных алгебраических уравнений. Процессы в цепях переменного тока с линейными элементами описываются линейными алгебраическими дифференциальными уравнениями. Такие цепи называются
линейными электрическими цепями.
4
ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
При отсутствии в колебательном контуре источника э. д. с. после зарядки конденсатора
(рис. 2, ключ К в положении 1) и замыкания цепи (ключ К в положении 2) в контуре возникают свободные электромагнитные колебания. Характер колебательных процессов (периодический, затухающий, апериодический) определяется соотношением параметров контура R , L , C .
Рассмотрим процесс возникновения колебаний в контуре при отсутствии резистора R .
Причиной колебаний являются взаимные превращения энергии электрического и магнитного поля. В рассматриваемой модели при R = 0 и отсутствии потерь на излучение энергии в окружающее пространство необратимых процессов в контуре не возникает. Следовательно,
взаимные превращения энергии электрического и магнитного поля будут обратимыми, процесс в контуре может происходить бесконечно долго. В контуре возникают свободные незатухающие колебания - периодический процесс.
Пусть в начальный момент времени t = 0 конденсатор заряжен, цепь разомкнута, и ток в контуре отсутствует. Энергия заряженного конденсатора при разности потенциалов на его
обкладках U |
C |
равна W = СUC2 . |
|
|
Э |
2 |
|
|
|
|
При замыкании цепи в контуре возникает электрический ток, обусловленный движением электрических зарядов с одной обкладки на другую. Вокруг катушки появляется магнитное поле. Явление самоиндукции препятствует мгновенному нарастанию тока от нуля до максимального значения Im , ток в цепи нарастает плавно. В момент времени T = 1/ 4 (T -
период колебаний) значение тока достигает максимума Im , заряд на обкладках q = 0 и разность потенциалов UC = 0 (рис. 3). Энергия электрического поля конденсатора WЭ = 0 ,
5
= LI 2
энергия магнитного поля катушки достигла максимального значения W m . Разность
М |
2 |
|
потенциалов на обкладках конденсатора в этот момент времени равна нулю, тем не менее, ток в контуре продолжает течь в том же направлении, хотя и убывает по величине от Im до 0
в интервале времени T / 4 −T / 2 . Причина заключается в явлении самоиндукции. Убывание электрического тока приводит к уменьшению магнитного поля, изменение которого, согласно закону Фарадея, обуславливает возникновение э. д. с. самоиндукции, поддерживающей убывающий ток. За время в интервале T / 4 −T / 2 конденсатор полностью перезаряжается. В этом промежутке времени происходит обратное превращение энергии магнитного поля катушки в энергию электростатического поля конденсатора.
В последующие моменты времени процесс полностью повторяется в обратном направлении.
6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
При изучении процессов в реальном колебательном контуре необходимо учитывать активное сопротивление контура, которым обладают все его элементы. При наличии в контуре активного сопротивления все процессы в контуре без источника затухают вследствие необратимых переходов энергии электромагнитного поля в тепловую. Поэтому в установившемся режиме значения тока и напряжений на элементах не равны нулю только для случая R = 0 . Процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Определение токов и напряжений в переходном и установившемся режимах сводится соответственно к нахождению общих и частных решений дифференциальных уравнений цепи.
Дифференциальное уравнение, определяющее токи и напряжения в колебательном контуре без источника э. д. с., имеет вид
|
dI |
|
1 |
t |
|
|
RI + L |
+ |
∫ Idt = 0 . |
(1) |
|||
dt |
C |
|||||
|
|
0 |
|
Смысл этого уравнения заключается в том, что по второму закону Кирхгофа для любого
момента времени сумма падений напряжений на каждом |
элементе при |
отсутствии |
|||
источника |
равна |
нулю (UR = RI - напряжение |
на резисторе, |
UL = L dI |
- на |
|
|
|
|
dt |
|
индуктивности, UC = 1 ∫t Idt - на конденсаторе). Для того, чтобы в уравнении (1) избавиться
C 0
от интегрирования, продифференцируем его по времени. В результате получим уравнение
d 2 I |
+ |
R dI |
+ |
I |
= 0 . |
(2) |
||
dt2 |
|
|
|
|||||
L dt |
LC |
|||||||
|
|
|
|
Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет в рассматриваемом случае аналитическое решение. Характер решения и показывает в конечном итоге характер физических процессов в колебательном контуре.
В общем случае можно показать, что при произвольных значениях параметров L , C , R в
контуре возможны три типа процессов: периодический, затухающий и апериодический. Тип процесса определяется значениями и соотношениями параметров контура.
Введем следующие обозначения:
δ = 12 RL - коэффициент затухания;
ω0 = |
1 |
- циклическаячастотанезатухающихколебаний. |
|
LC |
|
7
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2),
α 2 + 2δα + ω02 = 0 |
(3) |
имеет два корня
α1 = −δ + δ 2 − ω02 , α2 = −δ − δ 2 − ω02 . |
(4) |
Из теории дифференциальных уравнений следует, что решение уравнения (3) имеет аналитический вид
I = A eα1t + A eα2t . |
(5) |
|
1 |
2 |
|
Постоянные A1 , A2 определяются из начальных физических условий: при t = 0 напряжение на конденсаторе U (0) = 0 , ток I (0) = 0 . Для рассматриваемого случая
A1 = −A2 |
= |
U0 |
. |
(6) |
||
L(α1 |
−α2 ) |
|||||
|
|
|
|
Решение дифференциального уравнения цепи для тока и напряжений имеет вид:
|
I = − |
|
U0 |
|
|
|
(eα1t − eα 2 t ), |
(7) |
||
|
|
L(α − α |
) |
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
U |
L |
= − |
|
U0 |
|
(α eα1t − α |
eα 2t ), |
(8) |
||
|
|
|||||||||
|
|
α1 − α2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
C |
= − |
|
U0 |
|
(α |
eα1t −α eα2t ). |
(9) |
||
|
|
|
||||||||
|
|
α1 −α2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Исследуем различные возможные случаи решения (7)-(9).
АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Апериодический процесс имеет место при соотношении δ > ω0 . Поэтому, как следует из выражений (4), оба параметра α1 , α2 действительны и α1 < 0 , α2 < 0 , кроме того, α2 > α1 .
Из выражения для тока (7) в этом случае следует, что ток не изменяет своего направления. Физически это означает, что конденсатор все время разряжается.
Из дифференциального уравнения контура следует, что напряжение на сжимах конденсатора в любой момент уравновешивается суммой напряжений на катушке и резисторе. При t = 0
напряжение на |
резисторе |
UR = 0 , |
поэтому напряжение |
на конденсаторе полностью |
|
компенсируется напряжением на катушке UL = −UC . |
|
||||
В дальнейшем ток начинает возрастать, а напряжения UL и UC убывать. В момент времени |
|||||
t = tm значения |
UC = RI |
и UL = 0 , ток дальше возрастать не может и в этот момент имеет |
|||
максимальное значение |
Im |
(рис. 4). |
Для t > tm ток начинает убывать. Конденсатор |
||
продолжает отдавать энергию в контур. |
|
||||
Начиная с момента времени |
t = tm катушка уже не запасает, |
а отдает энергию магнитного |
поля в контур, поддерживая убывающий ток вследствие явления самоиндукции.
9
Из характера кривых данного процесса видно, что периодический процесс в контуре не реализуется. Процесс в контуре, который характеризуется односторонним разрядом конденсатора, зависимости UL , UC , I которого имеют вид, изображенный на рис. 4,
называется апериодическим.
Для случая δ = ω0 и α1 = α2 = −δ из уравнения цепи получаем
I = − UL0 te−δ t ,
UL = U0 (δt −1)e−δ t ,
UC = U0 (δt +1)e−δ t .
Характер процесса в этом случае, как и для δ > ω0 ,апериодический. Значение является критическим, так как при дальнейшем уменьшении R ниже значения 2 CL
конденсатора становится колебательным.
(10)
(11)
(12)
δ = ω0
разряд
ЗАТУХАЮЩИЙ ПРОЦЕСС
Затухающий процесс возникает для значений δ < ω0 . Решение дифференциального уравнения контура в этом случае имеет вид
I = − |
U0 |
|
e−δ t sin(ω t), |
(13) |
|||
ωL |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
UL = − |
U0ω0 |
|
e−δ t sin(ω t + ϕ ), |
(14) |
|||
|
ω |
||||||
|
|
|
|
|
|||
UC = − |
U0ω0 |
|
e−δ t sin(ω t −ϕ ). |
(15) |
|||
ω |
|
||||||
|
|
|
|
|