Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

202d

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
250.11 Кб
Скачать

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра «Техническая физика»

Лаборатория электричества и магнетизма

Лабораторная работа № 202D

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Составитель: Сидорик В. В.

Минск 1995

1

Цель работы:

Исследовать переходные процессы, возникающие при разрядке конденсатора в последовательном колебательном контуре с линейными элементами: емкостью, индуктивностью и резистором:

Исследовать периодический колебательный процесс в контуре.

Исследовать затухающий процесс.

Исследовать апериодический процесс.

Исследовать влияние емкости, индуктивности и активного сопротивления на характер процессов в контуре.

Исследовать превращения энергии электрического и магнитного поля в контуре.

Исследовать

процессы

изменения

тока,

заряда,

напряжения

на

 

индуктивности и емкости.

 

 

 

 

 

Порядок подготовки к работе:

Законспектировать в рабочую тетрадь ответы на следующие вопросы:

1. Какие колебания называются свободными?

2.Почему свободные колебания затухают в реальных контурах?

3.По какому закону убывает амплитуда свободных колебаний периодического характера?

4.Как влияет активное сопротивление R , индуктивность L и емкость С на характер свободных колебаний?

5.При каком условии в контуре имеет место периодический процесс и когда он носит апериодический характер?

Литература:

1. Калашников С.Г. Электричество. М., Наука, 1982

2.Орир Д. Физика. М., Мир, 1981

3.Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Ленинград, Энергоиздат, т.1, 1981

2

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Электромагнитные явления, происходящие в любом электро- и радиотехническом устройстве, определяются физическими процессами на заряженных телах, в проводниках, диэлектриках и окружающей среде.

При переменном токе магнитные потоки охватывают все участки и элементы электрической цепи. Индуцируется э. д. с. индукции и самоиндукции. Каждый участок и элемент цепи (реостаты, конденсаторы, участки линии) обладают индуктивностью. Между обкладками конденсатора и между витками катушки возникают токи смещения. Катушки индуктивности обладают емкостью.

Поглощение электромагнитной энергии и превращение в тепловую при переменном токе происходит во всех элементах электрической цепи. Катушка индуктивности обладает электрическим сопротивлением. В сердечниках из ферромагнетика происходят потери на гистерезис и вихревые токи. В конденсаторах имеют место потери в диэлектриках.

Таким образом, реальные электрические цепи являются цепями с распределенными параметрами. Токи и напряжения в таких цепях реально зависят от нескольких переменных

-времени и пространственных координат.

В отдельных участках цепи могут происходить процессы преобразования электромагнитной энергии и в другие виды энергии. Например, в цепях с источниками - аккумуляторами - в химическую энергию, в двигателях - в механическую.

Изменение тока и напряжения в электрических цепях приводит к взаимным преобразованиям энергии электрического и магнитного поля и, вообще говоря, к излучению энергии электромагнитного поля.

Все указанные и другие обстоятельства существенно усложняют анализ процессов в цепи.

В ряде случаев нет необходимости учитывать все сложные процессы, происходящие в цепях переменного тока. Как правило, можно сделать ряд допущений, существенно упрощающих задачу и, вместе с тем, не приводящих к нарушению адекватности описания реальных явлений.

Базовым звеном многих электро- и радиотехнических устройств является колебательный контур с RLC элементами. Анализ переходных процессов, протекающих в контуре,

обуславливает понимание функционирования и доступ к более сложным техническим устройствам.

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Равномерное распределение электрических и магнитных полей во всей электрической цепи наблюдается сравнительно редко, например, в длинных линиях. Значительно чаще такое распределение поля является существенно неравномерным.

На участке цепи, содержащей конденсатор, преобладает электрическое поле. На конденсаторе выступают на первый план явления, связанные с изменением электрического поля.

3

На катушке индуктивности доминирует магнитное поле. Основными оказываются явления, связанные с изменением магнитного поля. При не очень больших частотах можно пренебречь токами смещения между витками по сравнению с токами проводимости в самой катушке, следовательно, пренебречь емкостью катушки. Если частоты не очень малы, можно пренебречь падением напряжения на катушке по сравнению с индуцируемой э. д. с., т.е. считать равным нулю активное сопротивление катушки. При таких предположениях катушка обладает только индуктивностью L ≠ 0 , а значения R = 0 и C = 0 .

Таким образом, будем считать колебательный контур цепью с сосредоточенными параметрами. Токи электрического смещения существуют только между обкладками конденсатора. Здесь сосредоточена вся емкость C электрической цепи. Переменный магнитный поток индуцирует э. д. с. только в катушке. В катушке сосредоточена вся индуктивность L электрической цепи, а в резисторе R сосредоточено все активное сопротивление цепи. Преобразование электромагнитной энергии в тепловую происходит только на резисторе.

Наличие внешнего электромагнитного воздействия со стороны других источников, и между элементами внутри данной цепи отсутствует. Это означает равенство нулю параметра взаимной индукции.

В общем случае вольт-амперная характеристика (ВАХ) цепи U = RI , кулонвольтная характеристика (зависимость заряда конденсатора от приложенного напряжения q = CU ),

веберамперная характеристика (зависимость магнитного потокосцепления от тока Ψ = LI ) являются нелинейными (рис.1, зависимости 1). Однако в ряде случаев нелинейностью можно пренебречь и считать параметры цепи не зависящими от тока и напряжения. В этих случаях графики соответствующих зависимостей определяются прямыми линиями (рис.1, зависимости 2). Поэтому будем рассматривать электрическую цепь с линейными элементами.

Для описания электрических цепей постоянного тока достаточно линейных алгебраических уравнений. Процессы в цепях переменного тока с линейными элементами описываются линейными алгебраическими дифференциальными уравнениями. Такие цепи называются

линейными электрическими цепями.

4

ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

При отсутствии в колебательном контуре источника э. д. с. после зарядки конденсатора

(рис. 2, ключ К в положении 1) и замыкания цепи (ключ К в положении 2) в контуре возникают свободные электромагнитные колебания. Характер колебательных процессов (периодический, затухающий, апериодический) определяется соотношением параметров контура R , L , C .

Рассмотрим процесс возникновения колебаний в контуре при отсутствии резистора R .

Причиной колебаний являются взаимные превращения энергии электрического и магнитного поля. В рассматриваемой модели при R = 0 и отсутствии потерь на излучение энергии в окружающее пространство необратимых процессов в контуре не возникает. Следовательно,

взаимные превращения энергии электрического и магнитного поля будут обратимыми, процесс в контуре может происходить бесконечно долго. В контуре возникают свободные незатухающие колебания - периодический процесс.

Пусть в начальный момент времени t = 0 конденсатор заряжен, цепь разомкнута, и ток в контуре отсутствует. Энергия заряженного конденсатора при разности потенциалов на его

обкладках U

C

равна W = СUC2 .

 

Э

2

 

 

 

При замыкании цепи в контуре возникает электрический ток, обусловленный движением электрических зарядов с одной обкладки на другую. Вокруг катушки появляется магнитное поле. Явление самоиндукции препятствует мгновенному нарастанию тока от нуля до максимального значения Im , ток в цепи нарастает плавно. В момент времени T = 1/ 4 (T -

период колебаний) значение тока достигает максимума Im , заряд на обкладках q = 0 и разность потенциалов UC = 0 (рис. 3). Энергия электрического поля конденсатора WЭ = 0 ,

5

= LI 2

энергия магнитного поля катушки достигла максимального значения W m . Разность

М

2

 

потенциалов на обкладках конденсатора в этот момент времени равна нулю, тем не менее, ток в контуре продолжает течь в том же направлении, хотя и убывает по величине от Im до 0

в интервале времени T / 4 T / 2 . Причина заключается в явлении самоиндукции. Убывание электрического тока приводит к уменьшению магнитного поля, изменение которого, согласно закону Фарадея, обуславливает возникновение э. д. с. самоиндукции, поддерживающей убывающий ток. За время в интервале T / 4 T / 2 конденсатор полностью перезаряжается. В этом промежутке времени происходит обратное превращение энергии магнитного поля катушки в энергию электростатического поля конденсатора.

В последующие моменты времени процесс полностью повторяется в обратном направлении.

6

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

При изучении процессов в реальном колебательном контуре необходимо учитывать активное сопротивление контура, которым обладают все его элементы. При наличии в контуре активного сопротивления все процессы в контуре без источника затухают вследствие необратимых переходов энергии электромагнитного поля в тепловую. Поэтому в установившемся режиме значения тока и напряжений на элементах не равны нулю только для случая R = 0 . Процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Определение токов и напряжений в переходном и установившемся режимах сводится соответственно к нахождению общих и частных решений дифференциальных уравнений цепи.

Дифференциальное уравнение, определяющее токи и напряжения в колебательном контуре без источника э. д. с., имеет вид

 

dI

 

1

t

 

RI + L

+

Idt = 0 .

(1)

dt

C

 

 

0

 

Смысл этого уравнения заключается в том, что по второму закону Кирхгофа для любого

момента времени сумма падений напряжений на каждом

элементе при

отсутствии

источника

равна

нулю (UR = RI - напряжение

на резисторе,

UL = L dI

- на

 

 

 

 

dt

 

индуктивности, UC = 1 t Idt - на конденсаторе). Для того, чтобы в уравнении (1) избавиться

C 0

от интегрирования, продифференцируем его по времени. В результате получим уравнение

d 2 I

+

R dI

+

I

= 0 .

(2)

dt2

 

 

 

L dt

LC

 

 

 

 

Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет в рассматриваемом случае аналитическое решение. Характер решения и показывает в конечном итоге характер физических процессов в колебательном контуре.

В общем случае можно показать, что при произвольных значениях параметров L , C , R в

контуре возможны три типа процессов: периодический, затухающий и апериодический. Тип процесса определяется значениями и соотношениями параметров контура.

Введем следующие обозначения:

δ = 12 RL - коэффициент затухания;

ω0 =

1

- циклическаячастотанезатухающихколебаний.

 

LC

 

7

Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2),

α 2 + 2δα + ω02 = 0

(3)

имеет два корня

α1 = −δ + δ 2 ω02 , α2 = −δ δ 2 ω02 .

(4)

Из теории дифференциальных уравнений следует, что решение уравнения (3) имеет аналитический вид

I = A eα1t + A eα2t .

(5)

1

2

 

Постоянные A1 , A2 определяются из начальных физических условий: при t = 0 напряжение на конденсаторе U (0) = 0 , ток I (0) = 0 . Для рассматриваемого случая

A1 = −A2

=

U0

.

(6)

L(α1

α2 )

 

 

 

 

Решение дифференциального уравнения цепи для тока и напряжений имеет вид:

 

I = −

 

U0

 

 

 

(eα1t eα 2 t ),

(7)

 

 

L(α α

)

 

 

 

1

2

 

 

 

 

U

L

= −

 

U0

 

(α eα1t α

eα 2t ),

(8)

 

 

 

 

α1 α2

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

C

= −

 

U0

 

(α

eα1t α eα2t ).

(9)

 

 

 

 

 

α1 α2

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Исследуем различные возможные случаи решения (7)-(9).

АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

Апериодический процесс имеет место при соотношении δ > ω0 . Поэтому, как следует из выражений (4), оба параметра α1 , α2 действительны и α1 < 0 , α2 < 0 , кроме того, α2 > α1 .

Из выражения для тока (7) в этом случае следует, что ток не изменяет своего направления. Физически это означает, что конденсатор все время разряжается.

Из дифференциального уравнения контура следует, что напряжение на сжимах конденсатора в любой момент уравновешивается суммой напряжений на катушке и резисторе. При t = 0

напряжение на

резисторе

UR = 0 ,

поэтому напряжение

на конденсаторе полностью

компенсируется напряжением на катушке UL = −UC .

 

В дальнейшем ток начинает возрастать, а напряжения UL и UC убывать. В момент времени

t = tm значения

UC = RI

и UL = 0 , ток дальше возрастать не может и в этот момент имеет

максимальное значение

Im

(рис. 4).

Для t > tm ток начинает убывать. Конденсатор

продолжает отдавать энергию в контур.

 

Начиная с момента времени

t = tm катушка уже не запасает,

а отдает энергию магнитного

поля в контур, поддерживая убывающий ток вследствие явления самоиндукции.

9

Из характера кривых данного процесса видно, что периодический процесс в контуре не реализуется. Процесс в контуре, который характеризуется односторонним разрядом конденсатора, зависимости UL , UC , I которого имеют вид, изображенный на рис. 4,

называется апериодическим.

Для случая δ = ω0 и α1 = α2 = −δ из уравнения цепи получаем

I = − UL0 teδ t ,

UL = U0 (δt 1)eδ t ,

UC = U0 (δt +1)eδ t .

Характер процесса в этом случае, как и для δ > ω0 ,апериодический. Значение является критическим, так как при дальнейшем уменьшении R ниже значения 2 CL

конденсатора становится колебательным.

(10)

(11)

(12)

δ = ω0

разряд

ЗАТУХАЮЩИЙ ПРОЦЕСС

Затухающий процесс возникает для значений δ < ω0 . Решение дифференциального уравнения контура в этом случае имеет вид

I = −

U0

 

eδ t sin(ω t),

(13)

ωL

 

 

 

 

 

 

 

UL = −

U0ω0

 

eδ t sin(ω t + ϕ ),

(14)

 

ω

 

 

 

 

 

UC = −

U0ω0

 

eδ t sin(ω t ϕ ).

(15)

ω

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]