5. Перехід до границі послідовності у нерівностях.

Теор1: Якщо х_n=a, aєRрозшир, nєN(стаціонарна послід), то

Довед: Теор2: (Лема про 2-х міліціонерів) нехай задано послідовності {x_n}, {у_n}, {z_n}. x_n, y_n, z_n є Rрозшир. a є Rрозшир, починаючи з деякого номера виконується , тоді послід у_n має границю та

Довед: x_n →а→ .

(в одному околі і x_n і z_n)

Позначимо N₀=max{N₁, N₂, N₃}. Маємо: .

Наслідок: Нехай задано послід {x_n} i {y_n}

(викинули номери до N)

a) якщо x_n→+∞ при n→∞ → y_n→+∞ при n→∞

b) якщо y_n→-∞ при n→∞ → x_n→-∞ при n→∞

Довед: a) беремо z_n=+∞ (стаціон)

z_n→+∞ - виконується Лема

b) z_n<=x_n<=y_n, z_n=-∞…

Теор3: Нехай є {x_n}, {y_n}, {z_n}, x_n, y_n є Rрозшир.

a, b є Rрозшир., a<b тоді

Довед: a<b→

→

Наслідок1: нехай

6. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.

Озн. Верх(ниж)межею ЧП назив верх(ниж)межа множини знач цієї послід.

Познач:

Озн.Послід назив строго зрост(спад),якщо Позначення: (зростає), (спадає).

Озн.Послід назив зрост(спадною),якщо .

Якщо послід (строuj)зрост або(стр)спад,то вона назив(стр монот) монот.

Зауваж,що зрост послід обмеж знизу,а спадна-зверху своїми перш член.

Теор Вейєрштрасса. зростЧП має границю:скінченну,якщо послід обмеж зверху і нескінч,якщо послід необм зверху,при чому

Якщо послідовність спадна, то вона має границю:скінченну, якщо послідовність обмежена знизу,нескінченну-якщо необмежена знизу, при чому

Д овед: Нехай ,познач: Візьмемо О() -лівамежа околу

За озн границі ,ми довели перше положення

Практично теорема використ у вигляді:зростаюча,обмежена зверху послідовність має границю;спадна:обмежена знизу послідовність має границю.

Заув: Навпаки,якщо послід збіжна,то вона обмеж,але не обов’язк монот.

7.Теореми про границю суми, добутку, віднош чп.

Т1. Якщо послід {Xn} збіжна,то послід {|Xn|}теж збіж, причому limXn=a, aєR n→∞=>lim|Xn|=|a| n→∞ ||Xn|-|a||<=|Xn-a|

Заув:Навпаки взагалі невірно,але якщо{α_n}НМП,то для неї викон і оберн твердж.

Т2. Скінченна лін комб збіж послід є збіж послід,а її границя = лін комб границь заданих послідовностей.

Дов. Нехай limXn=a; limYn=b; a,bєR

n→∞ n→∞ =>за власт НМП(ця власт: limXn=a,aєR {Xn}- НМП, де αn=Xn-a) Xn=a+αn, Yn=b+βn, де {αn}, {βn}-НМП

Для б-я λ, µєR λXn+ µYn=λ(a+ αn)+ µ(b+βn)= λa+µb+(λαn+ µβn) =>власт1

Lim(λXn+ µYn)= λa+µb

n→∞ Що вимагалося довести.

Т3. Якщо послід {Xn}, {Yn} збіжні,то їх добуток є збіж послід, причому:

Lim {XnYn}= (limXn)(limYn) (всюди n→∞)

Довед: lim Xn=a Xn=a+αn

n→∞ a,b єR => {αn},{βn} – НМП

lim Yn=b Yn=b+βn

XnYn=ab+(aβn+bαn+αnβn)

Т.4 Якщо {Xn},{Yn} збіж послід i для б-я nєN, Yn≠0,limYn=b ≠0, n→∞

тоді {Xn/Yn}- є збіжна послід та limXn/Yn= limXn/limYn(всюди n→∞)

Дов. Xn/Yn- a/b = (a+αn)/(b+βn)-a/b=(ab+bαn-ab-aβn)/(b(b+βn)) =1/b(Yn)* (bαn-aβn) – НМП. Довед, що 1/b(Yn) – обмеж послід, bне=0. 0<|b|/2<|b|. limYn=b => . |1/b(Yn)|=1/|b||Yn|<2/b²=> обмежена.

Зауваж. Нехай { αn }, { βn } – НМП, βn≠0 для будь-яких nєN, тоді {αn/βn} може бути збіжною, НМП, або НВП. Тоді кажуть що є невизначеність типу 0/0 . Якщо задані дві нескінч великі, то може виникнути невизначеність ∞/∞. Ці невизначеності розкрив спец методами в залежн від вигляду послід-й.

До цих двох основних невизначеностей зводяться и наступні невизначеності: ∞/∞=1/0/1/0=0/0; ∞-∞; 0*∞; 1^∞; 0⁰; ∞⁰