44. Екстремум функції. Необхідна умова внутрішнього локального екстремуму

х0-т. локального екстремуму(max۷min)

існує О(х0) V х є Х∩О(х0) (f(х)<(>)f(х0))

∆у(х)>f(х)-f(х)

х0-строго лок max↔∆y(х0)<0

х0-строго лок min↔∆у(х0)>0

теор(необхідна умова лок екстремума)

якщо ф-ія задано в околі точки локального екстремума х0 то в цій точці похідна ф-ії або не існує або=0, наслідок теореми Ферма

45. Достатні умови екстремуму (використ першої похідної).

Теорема(достатня умова):нехай ф-ія f неперервна в деякому околі т.О(х0),х0-критична т.f(х). f(х)-диф О(х0) тоді якщо 1) f”(х)<0,х<х0; f”(х)<0 х>х0 →х0-строго max.

Дов:V х єО(х0) [х0,х],х>х0 f(х)-f(х0)=f ‘(ξ)(х-х0) ξ є(х0,х) ∆у>0 х0-строго лок min.

т. х0 наз точкою зростання ф-ії ф-ії f(х) якщо існує окіл т. х0 такий що f(х)-f(х0)<0, х<х0, f(х)-f(х0)>0,х>х0. х0 т. спадання якщо навпаки.

46.Достатні умови екстремуму (використання похідних вищих порядків). __

Теорема(достатні умови екстр):якщо f(х) n раз диф в т.х0 f(в степені k)(х0)=0,k=1,n-1

f(в степені n)(х0)≠0. n=2m, m є N→х0-т. локе кстремума f(х),

причому х0-лок max, якщо f(в степені 2m)(х0)<0

min,якщо f(в степені 2m)(х0)>0 n=2m-1

х0-не є т. екстремума ,х0-т. зростання ф-ії,якщо f(в степені 2m-1)(х0)>0,х0-точка спад (в степені 2m-1)(х0)<0. Скористаємося формулою Гейлора для f(х) вт.х0 f(х)>f(х0) f´(х0)(х-х0)+….+ f(в степені 2n-1)(х0) *(х-х0)(в степані n-1)+ f(в степені n)(х0)*(х-х0)(в степені n)+

(n-1)! n!

+О(х-хо).

∆у(х0)= f(в степені n)(х0) *∆х(в степені n)+О(∆х(в стені n)

n1

f(в степені n)(х0)≠0

О(∆х(в стені n))=О(f(в степені n)(х0)*∆х(в степені n)=α(∆х(в степені n)* (f(в степені

n!

n)(х0)*∆х(в степені n)

n!

Отже за знак прирісту ∆у суттєво впливає доданок(другий малий порівнянно з першим при ∆х→0 1)m=2m ∆х(в степені 2m)>0 f(в степені 2m)(х0)>(<)0→∆у(х0)>(<)0→х0-min(max)

2)n=2m-1 ∆х(в степені 2m-1) <(>)0→∆у(х0)-змінює знак точка росту(-;+)спад(+;-)

47.Опуклість функції. Геометричне визначення за допомогою хорд.

н ехай f(х) визначена на(а,в) Vх1,х2 є(0,в), х1<х2 А(х1,f(х1)) В(х2,f(х2))

АВ:у=f(х2)(х-х1)+f(х1)(х2-х)=І(х)

х2-х1.

Ф-ія f(x) наз.опуклою(угнутою) на (а,в) якщо f(х)≥(≤)І(х),Vх є(х1,х2)<(а,в)

опукла (гнута)якщо граф. ф-ії лежить не нижче(не вище) графіку січної АВ

зауваження: α1=(х2-х)/(х2-х1) α2=(х2-х)/(х2-х1) α1+α2=1 V α1,α2 є [0;1]

АВ: у=α1f(х1)+αf(х2) α1х1+α2х2=х f(х)=f(α1х+α2х)

f(х)-опукла(угнута)на(а;в)↔f(α1х1+α2х2)=α=f(х1)=α2f(х2)

V α1,α2 є[0;1]; α1+α2=1

Зауваження:f(х) строго опукла(угнута) якщо в замінити знак ≥на>(≤ на<).

теор(Достатні умови строгої опуклості):якщо друга похила ф-ії відємна(додатня) то ф-ія строго опукла(угнута) на усьому інтервалі.

48.Необхідні та достатні умови опуклості функції.

теор(достатні умови строгої опуклості): нехай ф-ія f має додатню(від суми) другу похідну,тоді V х0 є(а,в) всі точки (х,f(х)) графіки ф-ії f(х) лежать вище(нижче) дотичної проведеної до графіка у>f(х) в т.(х0,f(х0)) крім самої цієї точки.

теор(необхідні і достатні умови опуклості):ф-ія опукла(угнута) на(а,в)↔коли її 1 похідна монотонно спадає(зростає)на(а,в).