62. Теореми про середнє значення інтеграла Рімана.

Інтегральна теорема про середнє значення.

Нехай: І) ф-ції f і g інтегр на [a,b]

ІІ) m ≤ f(x) ≤ M , x є [a,b]

ІІІ) g(х) не змінює знак на [a,b] →

є R : m < < M така, що викон.

=

Наслідок: якщо викон І-ІІІ та ф-ція не перерв на [a,b], то

ξ: a < ξ < b таке, що

=f(ξ) .

Част випадок: =1, х є [a,b]

= f(ξ)(b-a)

63. Неперервна залежність визначеного інтегралу від змінної верхньої границі. Похідна інтегралу по змінній границі. Формула Ньютона-Лейбніца.

Т: Якщо ф-ція f(x) інтегр на [a,b], то ф-ції F(x) = I G(x)= непер на [a,b].

Дов.: х є [a,b] ∆х : х + ∆х є [a,b], ∆х<>0

∆ F(x) = F(x + ∆х) - F(x)= - =

| ∆F(x)| ≤ | | ≤ c| |= c|∆x|/

f(x) інтегр [a,b] → f(x)обмеж [a,b] → с>0 |f(x)| ≤ c x[a,b].

| ∆F(x)| ≤ c|∆x| → =0→ F(x)-непер [a,b].

F(x) + G(x) = → G(x)= - F(x).

G(x)-неперервна як сума непер ф-цій.

Т. Якщо f інтегр [a,b] та непер в т х₀ є [a,b], то ф-ція F(x) диферент в т. х₀ та викон F^/(x)= f(x).

Дов.: = ≤ < |∆x| < ε.

Т: Якщо f(x) непер на проміжку ∆, та х0 є ∆, то ф-ція

F(x) = є однією з первісних f(x) на проміжку ∆.

Основна теорема інтегрального числення.

Якщо f(х) непер [a,b] ф-ція, Ф(х) – деяка первісна ф-ції f(х), тоді має місце ф-ла Ньютона-Лейбніца: = Ф(b)-Ф(а) = Ф(х) |^b_a

Дов.: Ф(х), F(x)- первин f(x) [a,b] → = Ф(х) + c

x = a → 0= Ф(а) + c, c = - Ф(а)

= Ф(х) - Ф(а); x=b → звідси випливає формула Н.-Л.

Заув.: Теорема залишається вірною, якщо F(x) непер [a,b], f(x) кусково-неперервна [a,b]

64. Заміна змінної у визначеному інтегралі, її геометричний зміст.

Нехай ф-ція f(x) визн на проміжку х є ∆х.

φ(t) на t є ∆t; φ(∆t) ∆x

Т.: Нехай f(x) неп ∆x, φ(t), φ^/(t) неп ∆t, тоді має місце формула заміни змінної--→ =

[a,b]∁∆x, [α,β] ∁ ∆t, φ(α)=a; φ(β)=b.

Дов. Якщо F(x) перв f(x) на [a,b], то F(φ(t)) є первісною для ф-ції

За формулою Ньютона – Лейбніца: = F(φ(β))-F(φ(α)) = F(b)-F(a)=

65. Формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу.

Т.: Якщо ф-ція U(x) I V(x) непер та непер-диференц на [a,b], то має місце ф-ла інтегрув частинами для визнач інтег-лу:

= UV|^b_a-

66. Поняття площі плоскої фігури.

Плоска фігура-це множина точок площини.

Розглянемо на площині декартову с-му координат хоу.

Для кожного к=0,1,2…проведемо прямі х=10^-кр, у=10^-кq, p,q є Z.

Одержимо при кожному фіксованому k сукупність квадратів рангу k.

Кожний квадрат рангу k містить 100 квадратів k+1.

Розглянемо плоску фігуру Х. Позначимо S_k- об’єднання всіх квадратів рангу k, що містяться в Х. S_k ∁ Х.

Очевидно, S₀ ∁ S₁ ∁… ∁ S_k ∁…. ∁ Х.

Позначимо μ(S_k) – площа многокутника, яка скінчена, якщо сук-сть квадратів скінчена або це = + , якщо многокутник скл з нескінченної кількості квадратиків. μ(S₀)≤ μ(S₁)≤….≤ μ(S_k)≤….

Площею Х наз число μ(X) =

Якщо μ(X) скінчене є R, то Х наз квадровною або вимірною.

μ(X)- міра Х.

Озн-ня : μ_*(X)= sup μ(E), E ∁ X/

μ*(X)= inf μ(E), E ) X

E, E - многокутники.

μ(Х)= μ_*(X)= μ*(X) – тоді Х вимірна.

Якщо Х обмежена, то її площа скінчена.

Якщо Х необмежена, то взагалі кажучи, μ(Х)= + , але існують необмежені фігури скінченної площі.