56.Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.

1)∫R(x,x(в степені 1/n),x(в степені1/m)…x(в степені 1/1)dx зводиться до інтегралу від рац дробу за допомогою заміни:x=t(в степені N),N=НСК(n,m,s), dx=Nt(в степені N-1)dt ;∫R(t(в степені n),t(в степеніN/n…t (в степеніN/s)Nt(в степені N-1)dt.

2)∫R(x1((ax+b)/(cx=d)) (в степені 1/n)… ((ax+b)/(cx+d)) (в степені1/1))dx (ax+b)/(cx+d)=t(в степені N) N=НСК(n,m,…S) NєN

3)інтегрування диф. біномів. диф.біном-x(в степені m)(a+bx(в степені n))(в степені p)dxБ ,де a,b,m,n,p єR. Теор:інтеграл від диф.бінома де m,n,p єQ зводиться до інт від рац дробу лише в 3 випадках: а)p єZ;б)(m+1)/n єZ; в)((m+1)/n)+р єZ

57.Поняття інтегральної суми. Поняття визначеного інтеграла Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції за Ріманом.

Нехай на відрізку визначена дійсна функція дійсного аргументу .

Розглянемо розбиття відрізка — скінченна множина попарно різних точок відрізка. Це розбиття ділить відрізок на n відрізків .Довжина найбільшого з них , де , зветься діаметром розбиття.Розглянемо на кожному відрізку розбиття точку . Інтегральною сумою зветься вираз .

Якщо при прямуванні діаметра розбиття до нуля інтегральні суми прагнуть до одного й того ж числа, незалежно від вибору , то це число зветься інтегралом функції на відрізку , тобто У цьому випадку, сама функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [a,b]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [a,b].

Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної f(x), визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки [x_i,x_{i + 1}] інтегральна сума визнається як

SR =	∑	f(ξi)(xi + 1 − xi),
	i

де - будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відріку [x_i,x_{i + 1}] до нуля, то функція f(x) називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку [a,b] і позначається .Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

58.Поняття верхньої та нижньої сум Дарбу. Вла-сті сум Дарбу. Формулювання критерію інтегрованості.Приклади застосування.

Позначимо m_k=inf f(x), xє[x_k; x_k+1], M_K=sup f(x), xє[x_k; x_k+1].

Розглядаємо лише обмежені функції m_k, M_K є R, k=0,n-1

Нижньою(верхнею) сумою Дарбу наз вираз S_*(T)= m_k∆x_k

(S*(T)= M_k∆x_k.

Влаcтивості сум Дарбу.

1) (Т) S_*(T)≤ S(T) ≤ S*(T)

2) (Т),(Т^/) S_*(T)≤ S*(T^/) S_*(T)≤ S_*(T^/)≤ S*(T^/)≤ S*(T)

3) S_*(T)= inf f(Т) {ξ_k}

S*(T)= sup f(T) {ξ_k}

4) Нижнім(верхнім) інтегралом Дарбу наз. число: І_*= sup S_*(T)

I*= inf S*(T)

S_*(T)≤ І_* ≤ I* ≤ S*(T), (T)

5) Теорема Дарбу: = I_* ; = I*.

Критерій інтегрованості функцій на відрізку.

Для того, щоб неперервна на відрізку ф-ція була інтегрована на ньому, необх і достат, щоб суми Дарбу цієї ф-ції задовольняли умови.

- )=0

Наслідок1: f(x) інтегрована на [a,b]↔ ω_k(f)∆x_k=0, де

ω_k(f)-коливання ф-ції на відрізку [x_k; x_k+1], тобто

ω_k(f)=sup(f(x)-f(x^/))= supf(x)-inf f(x), x, x^/ є [x_k; x_k+1]

Наслідок: Якщо f(x) інтегрована на [a,b], то = =І.

Доведення критерію:

1) необхідність→ =І(за озн-нням)

За оз-ням Коші: ε>0 σ(ε) (Т) λ(Т)< σ(ε)

І-ε < S(T) < I + ε

В нерівності перейдемо до inf та sup по точках ξ_k.

І-ε ≤ ≤ S(T)≤ ≤ I + ε

0≤ - ≤ 2ε<3ε → - )=0

2) достатність

0 ≤ - < ε, якщо λ(Т)< σ(ε)

0 ≤ І*-І_* ≤ - < ε → 0 ≤ -І ≤ - < ε

0 ≤ І - ≤ - < ε

З цих двох співвідношень маємо:

= =І.

За властивістю 1: S_*(T)≤ S(T) ≤ S*(T)

=I→ I= dx, f(x) – інтегрована на [a,b].