3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п₁ опытов, и событие А появилось т₁ раз; во второй серии из п₂ опытов событие А появилось т₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р₁, а во второй серии – через р₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р₁ = р₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ≠ р₂ u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| > u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ > р₂ u_кр для правосторонней крити-ческой области находится из условия , и вид критической области: U > u_кр.

в) при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂ левосторонняя критическая область имеет вид U < – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).

Пример. В серии из 20 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется

нулевая гипотеза Н_о: р₁ = р₂ при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂.

Решение.

Критическая область – левосторонняя, следова-

тельно, и_кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и_набл = U_набл > – u_кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова.

4. Проверка гипотезы о значимости выборочного

коэффициента корреляции

Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_B ≠ 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции:

H_o: r_Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0. Критерием является случайная величина

,

имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область при заданном виде конку-рирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством |T| > t_кр, где t_кр(α, k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

Пример. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распреде-ленной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции r_B = - 0,37. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу H_o: r_Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0.

Решение.

Критическая точка t_кр(0,01; 150) = 2,58. Вычислим наблюдаемое значение критерия: Поскольку |T_набл | > t_кр, нулевая гипо-теза отвергается, то есть Х и Y коррелированны.