
- •Проверка статистических гипотез
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •2. Сравнение двух средних генеральных совокупностей
- •3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
- •4. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •5. Критерий согласия Пирсона
- •6. Проверка гипотез о значимости коэффициентов
Проверка статистических гипотез
Методические указания и варианты курсовых заданий
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестно-го распределения случайной величины или о параметрах известного распре-деления. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Но форму-лируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернатив-ная) Н1, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.
Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположе-ние) и сложные (содержащие более одного предположения).
При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза.
Для проверки
статистической гипотезы используется
специально подобран-ная случайная
величина К
с известным законом распределения,
называемая статистическим
критерием.
Множество ее возможных значений
разбивает-ся на два непересекающихся
подмножества: одно из них (критическая
область)
содержит значения критерия, при которых
нулевая гипотеза отклоняется, второе
(область
принятия гипотезы)
– значения К,
при которых она принимается. Значения
К,
отделяющие критическую область от
области принятия гипотезы, называются
критическими
точками kр.
Критическая область может быть
правосторонней
(если она задается неравенством
),
левосторонней
(
)
или двусторонней
(
).
Для ее нахождения нужно задать вероятность
ошибки первого рода α,
называемую уровнем
значимости;
тогда, например, правосторонняя
критическая область задается условием
.
Порядок проверки статистической гипотезы таков:
задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение kкр; определяется вид критической области;
по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия Кнабл;
если Кнабл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании Кнабл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.
Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез.
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Пусть
имеются две выборки объемов п1
и п2,
извлеченные из нормально распределенных
генеральных совокупностей Х
и Y.
Требуется по исправлен-ным выборочным
дисперсиям
и
проверить нулевую гипотезу о равен-стве
генеральных дисперсий рассматриваемых
генеральных совокупностей:
Ho: D (X) = D (Y).
Критерием
служит случайная величина
отношение большей исправленной дисперсии
к меньшей, которая при условии
справедливости нулевой гипотезы имеет
распределение Фишера-Снедекора со
степенями свободы k1
= n1
– 1 и k2
= n2
– 1. Критическая область зависит от вида
конку-рирующей гипотезы:
если H1: D (X) > D (Y), то критическая область правосторонняя:
Критическая
точка
находится
по таблице критических точек распределения
Фишера-Снедекора. Если
нулевая гипотеза принимается, в противном
случае – отвергается.
2)
При конкурирующей гипотезе H1:
D
(X)
≠ D
(Y)
критическая область двусторонняя:
При этом достаточно найти
Тогда, если
нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу, если
нулевую гипотезу отвергают.
Пример.
Даны две независимые выборки объемов
п1
= 10 и п2
= 15, извле-ченные из генеральных
совокупностей Х
и Y,
распределенных по нормаль-ному закону.
Найдены исправленные выборочные
дисперсии
и
Проверим при уровне значимости α
= 0,05 нулевую гипотезу о равенстве
генеральных дисперсий при конкурирующей
гипотезе H1:
D
(X)
> D
(Y).
Решение.
Найдем
значение
Критическая область – правосто-
ронняя.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.