Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Из этого уравнения определим переменную функцию С₁(х):

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: .

Таким образом, мы получили результат, совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

Пример 2. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение:

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

О кончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно

Показан график интегральной кривой уравнения.

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение. Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Итого

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

Пример 4. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Итого

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

(верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:

C учетом начального условия у(1) = 0: Частное решение:

Пример 6. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.

Решение. Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = е: Частное решение:

Второй способ решения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Соответствующее однородное:

Решение исходного уравнения ищем в виде: Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

Получаем общее решение:

Пример 7. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.

Решение. В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку: Общее решение:

_C учетом начального условия у(1) = 0: Частное решение:

Второй способ решения. Замена переменной:

_{Общее решение:}

Пример 8. Решить дифференциальное уравнение

Решение.

_или

_{Полагаем}

_или

Пример 9. Решить дифференциальное уравнение

_{Решение.} Замена переменной для линейного уравнения:

При этом . Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Т.к. одну из вспомогательных функций можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Для нахождения второй неизвестной функции u подставим поученное выражение для функции v в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. Тогда для отыскания u получим уравнение

Подставляя v, найдём u как общий интеграл уравнения:

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем: