17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.

Означеня. Нехай функція визначена в деякому околі точки . Тоді називається точкою максимуму (відповідно точкою мінімуму) функції , якщо існує таке , що для всіх які задовольняють умову , виконується нерівність (відповідно ).

Якщо існує таке , що для всіх таких, що , виконується нерівність (відповідно ), то називається точкою строгого максимуму (відповідно строгого мінімуму).

Точки (строгого) максимуму і мінімуму називаються точками (строгого) екстремуму.

Теорема(необхідні умови екстремуму). Нехай є точкою екстремуму функції , визначеною в деякому околі точки . Тоді або похідна не існує, або

Справді, якщо є точкою екстремуму для функції , то знайдеться такий окіл , що значення функції в точці буде найменшим у цьому околі. Тому, якщо в околі точки існує похідна, то вона згідно теореми Ферма дорівнює нулю.

Зауважимо, що умова не є для диференційованої при функції достатньою умовою екстремуму.

Теорема(достатні умови строгого екстремуму). Нехай функція диференційована в деякому околі точки , окрім можливо самої точки , в якій вона є неперервною. Якщо похідна змінює знак при переході через (це означає, що існує таке число , що значення похідної мають один і той же знак всюди в и протилежний знак для всіх ),то є точкою строгого екстремуму.

При цьому, якщо для виконується нерівність , а для - нерівність , то є точкою строгого м максимуму, а якщо для виконується нерівність , а для - нерівність , то є точкою строгого мінімуму.

Доведення. Розглянемо випадок для і для , де належить околу точки , вказаної в умові теореми. За теоремою Лагранжа

де належить інтервалу з кінцями і .

Якщо , то і , так як . Якщо , то і , так як в цьому випадку . Таким чином, завжди , тобто точка є точкою строгого максимуму. Аналогічно і в іншому випадку. ■

Якщо функція має усюди в деякому проколотому околі даної точки похідну одного і того ж знаку, а в самій точці похідна або рівна нулю, або не існує, проте сама функція неперервна, тобто якщо існує похідна неперервної функції «не змінює знаку» при переході через точку , то ця точка не є точкою екстремуму даної функції (більш того, функція у вказаному околі строго зростає або спадає в залежності від того, додатна чи від’ємна похідна в точках ).

Якщо функція визначена в деякому околі точки , неперервна при , має всюди в розглядуваному околі крім, можливо, точки , похідну і ця похідна з кожного боку від зберігає постійний знак (отже, можна говорити про збереження чи зміні знаку у похідній при переході через ), то для того, щоб при функція досягала екстремуму необхідно і достатньо, щоб похідна змінювала знак при переході через точку .

18. Опуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості. Точки перегину графіка функції. Умови існування.

Нехай функція визначена на проміжку і нехай . Проведемо пряму через точки і , що лежать на графіку функції . Її рівняння буде:

Позначимо праву частину цього рівняння через ; тоді коротко запишеться .

Очевидно, що

Означення. Функція називається опуклою вверх (випуклою вниз) на інтервалі , якщо які б не були точки і , , для будь-якої точки інтервалу , виконується нерівність: , (відповідно ).

Геометрично це означає, що будь-яка хорда (тобто частини прямої з кінцями в точках і ) лежить не вище (не нижче) точки графіка функції , що відповідає тому ж значенню аргумента.

Означення. Якщо замість і виконуються строгі нерівності при будь-яких таких, що , то функція називається строго опуклою вверх (строго випуклою вниз) на інтервалі .

Означення. Всякий інтервал, на якому функція (строго) опукла вверх, відповідно вниз, називається інтервалом (строгої) опуклості вверх, відповідно вниз, цієї функції.

Теорема(достатня умова строгої опуклості). Нехай функція двічі диференційована на . Тоді якщо на , то функція строго опукла вверх, а якщо на - строго випуклою вниз на цьому інтервалі.

Доведення. Нехай . Тоді

Використовуючи теорему Лагранжа, отримуємо:

де . Використовуючи знову теорему Лагранжа, отримуємо:

Звідси видно, що якщо на , а зокрема , то , тобто функція строго випукла вверх; якщо ж на , то , тобто функція строго випуклою вниз.■

Теорема. Нехай функція має на всьому інтервалі додатню (від’ємну) другу похідну: (відповідно ) . Тоді яка б не була точка , всі точки , , графіка функції лежить вище (відповідно нижче)дотичної, проведеної до нього в точці (виключенням є сама точка, яка лежить на вказаній дотичній).

Означення. Нехай функція диференційована при і нехай - рівняння дотичної до графіка функції у точці . Якщо різниця міняє знак при переході через точку , то називається точкою перегину функції .

Це означає, що існує такий окіл точки , що на кожному з інтервалів і різниця зберігає постійний знак, протилежний її знаку на другому інтервалі.

Геометрично це означає, що графік функції переходить в точці з одної сторони (від похилої) дотичної в цій точці на другу.

Якщо - точка перегину функції, то точка називається точкою перегину графіка функції .

Теорема(необхідна умова існування точки перегину). Нехай функція має неперервну при другу похідну. Тоді, якщо точка є точкою перегину функції , то .

Теорема(перша достатня умова існування точок перегину). Якщо функція , диференційована в точці , двічі диференційована в деякому проколеному околі цієї точки і друга похідна функції змінює знак при переході аргументу через (тобто або при і при , або при і при ), то є точкою перегину функції .

Теорема(друга достатня умова існування точок перегину). Нехай , а ; тоді є точкою перегину.