- •11. Рівномірна неперервність.Теорема Кантора.Наслідок.
- •12. Похідна функції.Похідна композиції функцій, оберненої функції. Таблиця похідних. Похідна функції, заданої параметрично.
- •13. Диференціал. Інваріантність форми диференціала.
- •14. Похідні і диференціали вищих порядків.
- •15. Формула Тейлора. Залишковий член у формі Пеано, Шльомільха-Роша,
- •16.Необхідні і достатні умови сталості функції, монотонності функції.
- •17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.
- •18. Опуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості. Точки перегину графіка функції. Умови існування.
- •19. Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.
- •20. Первісна функція, властивості. Таблиця первісних.
- •21. Заміна змінної та інтегрування частинами.
- •22. Інтегрування раціональних функцій.
- •2.Прості дроби
- •3.Інтегрування правильних дробів
- •23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і достатні умови інтегровності.
- •23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і достатні умови інтегровності.
11. Рівномірна неперервність.Теорема Кантора.Наслідок.
Якщо ф-ція визначена на деякому проміжку і неперервна в т. цього проміжку, то або , що з . Припустимо, що ф-ція непер. на всьому проміжку , тобто непер. в кожній т. цього проміжку. Тоді для кожної т. по заданому . При зміні в межах , навіть якщо незмінюється, число буде мінятися. Тому постає питання : чи можна вибрати одне , при заданому , яке б задовольняло усі .
рівномірно непер. в обл. , якщо вона непер. в кожній точці обл. і та , що . Отже, рівном. непер., це така непер., що для всіх точок можна вибрати одне .
Т. Кантора. Якщо визначена і непер. в замкнутому проміжку , то вона рівном. непер. на цьому пром.
Довед.(від супрот.) Припустимо, що не рівном. непер. Тоді, яке б число не взяли, на проміжку такі два значення і , що і . Візьмемо послід. додатніх чисел так, щоб . Тоді для кожного в значення і такі, що і . За лемою Больцано-Вейерштраса з обмеж. послід. можна виділити підпослід збіжну до деякої т. пром. . Тоді і сама послід. збігається до . Оскільки , то одночасно і послід. збіг. до . Тоді в силу непер. ф-ції в т. повинно бути і так що а це суперечить тому, що при всіх значеннях .
Наслідок. Нехай ф-ція визначена і непер. у замкнутому пром. . Тоді , що якщо пром. довільно розбити на частинки з довжинами меншими , то в кожному з них коливання ф-ції буде менше .
12. Похідна функції.Похідна композиції функцій, оберненої функції. Таблиця похідних. Похідна функції, заданої параметрично.
Похідною даної функції наз. границя відношення приросту ф-ії до приросту незалежної змінної при довільному прямуванні цього приросту до нуля:
(x)=
П-д. Нехай y=x. Тоді
Теорема. Значення похідної (x) дорівнює тангенсу кута, утвореного з віссю Ох дотичної до графіка ф-ії y=f(x) у точці з абсцисою х.
Т.1. Похідна суми означеного скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних доданків.
Т.2. Похідна добутку двох ф-ій дорівнює сумі добутків першої ф-ії на похідну другої і другої ф-ії на похідну першої.
Т.3. Похідна частки двох ф-ій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник- різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутком діленого на похідну дільника.
Тобто, якщо ми маємо дві функції U(x) і V(x) диференційовані в т. х, то буде диференційована їх сума, добуток і частка(V(x) 0) 1)
Похідна складної ф-ії дорівнює добутку похідних від ф-ій, які її складають.
Якщо функція в точці х має похідну, то вона називається диференційованою в цій точці. Похідна оберненої функції. Нехай маємо функцію y=f(x). Нехай до неї існує обернена ф-ція
Теорема.1(?один варіант?)Якщо y= -неперервна ф-ія, яка обернена неперервній і має похідну ф-ії y=f(x) , то похідна існує і значення її обернене за величиною значенню при .
Теорема1(?другий варіант?). Якщо функція y=f(x) в т. х має похідну, не рівну нулю, то обернена ф-ція у відповідній точці-у також має похідну, яка записується: або Доведення:1) Надали приросту змінній у, 2) Тоді змінна х набирає приріст ,
3) ,
4)
Отже
Похідна складної функції. Нехай y=f(u), а , то ми маємо складну ф-цію: .
Теорема2. Якщо функція f(u) має похідну , а ф-ція має похідну у відповідній точці х, то складна ф-ція має похідну
Доведення. Поскільки існує , то існує границя при . Поділимо обидві частини на і перейдемо до границі: Якщо , то Отже, тобто .
Похідна ф-ції, заданої параметрично.
Теорема3. Якщо ф-ції і мають похідні , причому , тоді існує похідна , рівна частці похідних. Доведення. Якщо у- ф-ція від х, то
Основна таблиця похідних: