Матричный метод разбиения

Метод разбиения графа на максимальные сильно связные подграфы по матрицам достижимости R и контрдостижимости Q состоит в следующем.

По матрице смежности строится матрица достижимости R. Используя операцию транспонирования, находим матрицу контрдостижимости Q.

Находится матрица C = { сij }, i,j = 1, 2, 3, ..., n, где n – число вершин исходного графа, а каждый элемент Cij = rijqij, т. е. матрица C получается поэлементным логическим умножением матриц R и Q: С = R Q.

Элементы, имеющие одинаковые строки и столбцы в матрице С группируем перестановкой строк и столбцов, получаем блочно диагональную матрицу Св , где каждая группа элементов и есть максимальный сильно связный подграф.

Рассмотрим пример разбиения для графа, представленного на рис. 7.1,а. Как следует из определения матрицы R для ее нахождения следует для каждой вершины найти прямое транзитивное замыкание. Если некоторая xj вершина графа входит в транзитивное замыканиеT+(хi), то элемент матрицы R rij =1. Полученные таким образом матрицы R и Q показаны на таблица 7.7а и таблица 7.7б. В результате логического умножения получили матрицу С (таблица 7.7в), в которой находим одинаковые строки. Например, для вершины х1 строка совпадает с седьмой и одиннадцатой. Следовательно, вершины х1, х7, х11 группируем вместе и они составляют первый выделенный подграф. Как видим из блочнодиагональной матрицы (таблица 7.7г) полученные подграфы совпадают с результатом разбиения по методу Мальгранжа .

Транзитивные замыкания

Прямым транзитивным замыканием некоторой вершины хi – ( хi )является объединение самой вершины хiс прямыми отображениями 1-го порядка, второго порядка и т. д., т. е.

( хi ) = хi ( хi ) ( хi ) ...

Многозначные отображения находятся до тех пор, пока в них добавляются новые вершины.

Так, для графа на рис. 3.1.

( х1 ) = { х2, х3 }, ( х1 ) = { х3, х5 }, ( х1 ) = { х3, х1 }, ( х1 ) = { х2, х3 }.

Отображение четвертого порядка содержит те же элементы, что и отображение 1-го порядка, следовательно, других элементов в последующих отображениях не появится. Транзитивное замыкание для вершины х1получается следующим образом:

( х1 ) = х1 { х2, х3 } { х3, х5 } { х3, х1 } = { х1, х2, х3, х5 }.

Проанализировав множество вершин, входящих в ( хi ), можно сделать вывод: прямое транзитивное замыкание содержит вершины, в которые есть пути из вершины хi. Таким образом, можно дать второе определение T+( хi ).

Прямое транзитивное замыкание некоторой вершины хi ( хi )– это множество вершин, достижимых из вершины хi, т. е. T ( хi ) = { хj | путь из хi в хj }.

Обратное транзитивное замыкание

Обратным транзитивным замыканием некоторой вершины хi –T-( хi )является объединение этой вершины с обратными отображениями 1-го, 2-го и т. д. n -го порядка, т. е.

( хi ) = хi (хi ) (хi ) ...

Иначе, обратное транзитивное замыкание для некоторой вершины хi – T-( хi )– это множество вершин, из которых достижима вершина хi, т. е. T-( хi ) = { xj | путь из xj в хi }.

Рассмотрим построение обратного транзитивного замыкания для графа на рис. 3.1.

(х1) = { х5 }, (х1) = { х2, х4 }, (х1) = { х1 }, (х1) = { х5 }, (х1) = х1 { х5 } { х2, х4 } { х1 } { х5 } = {х1, х2, х4, х5}.