10. Процеси розмноження та вимирання.
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова. При условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.
Пусть система характеризуется n состояниями: S0, S1, S2, …, Sn, а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени t. Обозначим через Pi(t) вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si. Требуется определить для любого момента времени t вероятности состояний P0(t), P1(t), …, Pn(t). Очевидно, что сумма всех этих Pi .
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей Pij(t) рассматриваются плотности вероятности перехода λij(t), которые представляют собой отношение вероятности перехода системы за время Δt из состояния Si в Sj состояние к длине промежутка Δt.
Где Pij(t, Δt) – вероятность того, что система, пребывавшая в момент времени t в состоянии Si, за промежуток времени Δt перейдёт в состояние Sj. Если λij=const, то процесс называется оборотным. Если λij=λij(t), то процесс называется неоднородным.
Вероятности состояний Pi(t) находят путём решения системы ДУ Колмогорова.
(1)
Рассмотрим типичную схему непрерывных марковских процессов, так называемую схему гибели и размножения. Марковский процесс с дискретными состояниями S0, …, Sn называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний, S1, S2, …, Sn-1 может переходить только в соседние состояния, а крайние состояния S0, Sn переходят только в соседние состояния.
Это название взято из биологических задач, где состояние популяции Sk означает наличие в ней k-особей. Переход вправо связан с размножением особей, а влево – с гибелью. Интенсивности вероятностей λ0(t), …, λn-1(t) – интенсивность размножения, μ1(t), …, μ n-1(t) - интенсивности гибели. λ, и μ – индекс того состояния, из которого они выходят. С состоянием Sk связана неслучайная величина Xk, а именно если система в момент времени t находится в состоянии Sk, то дискретная неслучайная величина Xk, связанная с функционированием системы, принимает значение k. Таким образом, получаем случайный процесс X(t), который в случайные моменты времени скачком изменяет своё состояние.
В практике встречаются процессы чистого размножения и чистой гибели. Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны 0. Аналогично процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны 0.
13. Метод скользящего среднего. Простое скользящее среднее. Сао.
Из группы методов скользящего среднего самым простым является метод скользящего среднего по n узлам. Например, если n=4, а всего наблюдений 16, то y17=(y16+y15+y14+y13)/4. Если сравнивать полученные данные по методу скользящего среднего с фактическими данными, то можно убедиться, что ни один из этих методов не является достаточно точным. Мерой сравнения разных методов является две величины: первая величина – среднее абсолютных отклонений (САО); вторая – среднее относительных ошибок в процентах (СООП).
Значение прогноза, полученного методом простого скользящего среднего, всегда меньше фактического значения, если исходные данные монотонно возрастают, и больше фактического значения, если исходные данные монотонно убывают. Поэтому если данные монотонно возрастают или убывают, то с помощью простого скользящего среднего нельзя получить точный прогноз. Этот метод лучше всего подходит для данных с небольшими случайными отклонениями. Метод простого скользящего среднего имеет недостаток. Он возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого значения самое последнее наблюдение имеет тот же самый вес, как и предыдущее.
n=3
Присвоение равного веса противоречит интуитивному представлению о том, что во многих случаях последние данные могут больше сказать о том, что произойдёт в ближайшем будущем. Поэтому применяется метод «взвешенное скользящее среднее».