2. Генерування випадкових величин.
Чтобы получить значение произвольной дискретной случайной величины, необходимо иметь:
1) Значение непрерывной равномерно распределённой случайной величины;
2) Распределение вероятностей случайной величины, которая генерируется (функция распределения вероятности) F(x)=P(X<x)
Общая схема генерирования значений случайной величины:
Сначала генерируется значение u равномерной случайной величины. От этого значения на вертикальной оси проводится горизонтальная линия до пересечения с графиком функции распределения, и от этой точки опускается перпендикуляр на горизонтальную ось.
Дискретный случай
Непрерывный случай
Для непрерывной величины можно подключать аналитические методы решения.
Рассмотрим моделирование дискретного равномерного распределения. В Excel есть функция СЛЧИС(), которая возвращает случайное число в пределах от 0 до 1.
Рассмотрим моделирование с помощью этой функции дискретного равномерного распределения, где целые значения от 8 до 12 должны иметь равные вероятности.
Функция =5*СЛЧИС() будет принимать любые значения из отрезка (0; 5).
Если мы изменим эту функцию =8 + 5*СЛЧИС(), то мы будем получать случайные числа из отрезка (8; 13).
Если применим к этой функции =ЦЕЛОЕ(8 + 5*СЛЧИС()), то на выходе этой функции мы будем получать значения 8, 9, 10
Знач. СЛЧИС()
8 0<СЛЧИС()<0,2
9 0,2<СЛЧИС()<0,4
12 0,8<СЛЧИС()<1
В общем случае для того, чтобы моделировать равномерное дискретное распределение целых чисел, принимающее значение от х до у, необходимо использовать формулу =ЦЕЛОЕ(х+(у-х+1)*СЛЧИС())
Пример экспоненциального моделирования.
Функция распределения F(x) записана в виде
F(x)=1-
M(x)=
.
Если нам известно значение u равномерного непрерывного распределения случайной величины, то значение х мы будем находить из решения уравнения u=1-
Нетрудно увидеть, что =1-u
-λx=ln(1-u)
x=
x=-M(x)ln(1-u).
Моделирование нормального распределения
В имитационных моделях часто предполагается, что какие-либо количественные параметры распределяются по нормальному закону. Например, спрос имеет нормальное распределение с m=1000 и σ=100. Чтобы смоделировать такое распределение этой величины х, рассмотрим случайную величину z, которая имеет нормальное распределение с нулевым мат. ожиданием (m=0) и σz=1. Такое распределение мы назовем стандартным распределением. Тогда случайная величина
X=m+ σ*z
X=1000+100*z
будет иметь нормальное распределение с матем. ожиданием m(1000) и среднеквадратическим отклонением σ(100). Таким образом, задача моделирования любых нормально распределённых случайных величин сводится к моделированию случайной величины z, подчиняющейся нормальному стандартному закону. К сожалению, функция распределения этого закона не позволяет получить в явном аналитическом виде значение z(u).
Пусть F(z) – это функция распределения для нормального закона, то найти z из уравнения u=F(z) в аналитическом виде не представляется возможным.
В Excel есть функция НОРМОБР(), которая возвращает значения z при известном u.
Например, для нашего примера
=НОРМОБР(СЛЧИС();1000;100)