7. Фундаментальна матриця Ланцюга Маркова.

Ланцюг Маркова називають поглинальним, якщо серед множини станів відповідної системи існує хоча б один, набувши якого з певною імовірністю система перебуватиме в ньому й надалі. Отже, поглинальними є такі ланцюги Маркова, для яких стійкими станами є поглинальні.

Для поглинального ланцюга Маркова, поданого у канонічній формі, справджуються такі твердження:

1. , де O – нульова матриця;

2. Матриця (I-Q), де I – одинична матриця, повинна мати обернену;

3. Для поглинального ланцюга Маркова імовірність переходу системи (процесу) у поглинальний стан зі збільшенням числа кроків переходу k прямує до 1, а тому буде виконуватись рівність

Матриця N=(I-Q)^-1 називається фундаментальною для поглинального ланцюга Маркова. Елемент, який в матриці N міститься на перетині i-го рядка і j-го стовбця, характеризує середнє значення кількості випадків перебування системи (процесу) у стані ω_j і позначається M_i(ω_j).

Приклад. За результатами обробки статистичної інформації про навчальний процес деякого вищого навчального закладу України дістали такі дані про його середньостатистичного студента:

• студент 1-го курсу з імовірністю 0,1 припиняє навчання через неуспішність, з імовірністю 0,25 ще на рік залишається першокурсником та з імовірністю 0,65 переходить на 2-й курс;

• студент 2-го курсу з імовірністю 0,15 відсівається через неуспішність, з імовірністю 0,3 залишається повторно студіювати 2-й курс, з імовірністю 0,55 переходить на 3-й курс;

• студент 3-го курсу відсівається з імовірністю 0,22, з імовірністю 0,31 стає другорічником, з імовірністю 0,57 переходить на 4-й курс;

• студент 4-го курсу відсівається з імовірністю 0,12, з імовірністю 0,2 стає другорічником, з імовірністю 0,68 переходить на 5-й курс;

• студент 5-го курсу відсівається з імовірністю 0,05, з імовірністю 0,15 стає другорічником, з імовірністю 0,8 захищає дипломну роботу і залишає вуз дипломованим фахівцем.

Побудувати матрицю π  імовірностей переходу та записати фундаментальну матрицю N=(I-Q)^-1. Розв’язання. Розглянемо умовно студента як деяку ймовірнісну систему, що може перебувати в одному із семи несумісних станів: ω₁ — відсіятися через незадовільне навчання; ω₂ —навчатися на 1-му курсі; ω₃, ω₄, ω₅, ω₆  — навчатися відповідно на 2-му, 3-му, 4-му та 5-му курсах; ω₇ — залишити вищий навчальний заклад дипломованим фахівцем. За умовою задачі будуємо матрицю ймовірностей переходу: У канонічній формі ця матриця подається так: Матриця

Отже, середнє значення (математичне сподівання) часу, протягом якого система (процес) перебуває в одному зі станів ω₁Q , визначається відповідним елементом матриці (I-Q)^-1. Так, у розглядуваному прикладі середньостатистичний студент у середньому на 1-му курсі може перебувати 1,33 одиниці часу, на 2-му— 1,24, на 3-му — 1,17, на 4-му — 0,83 і на 5-му курсі — 0,67.