Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя.
Поле диполя
Электрическое поле диполя можно найти в любой интересующей нас точке, опираясь на принцип суперпозиции («Физика 9», § 42). Сделаем это, например, для точки А (рис. 2).
Рис. 2
Напряженность поля в этой точке равна векторной сумме напряженностей, создаваемых точечными зарядами +q и —q:
,
или
.
где r — расстояние от середины диполя до точки А.
На больших расстояниях, когда r >> l получаем
,
где р = ql
называется электрическим моментом
диполя. Говоря точнее, ql — это модуль
дипольного электрического момента
,
а направлен этот вектор от отрицательного
заряда к положительному. Электрический
момент — основная характеристика
диполя. В данном случае он определяет
электрическое поле диполя на больших
расстояниях от него.
Как видно из
последнего выражения, вдали от диполя
напряженность поля убывает с расстоянием
как
,
то есть быстрее, чем поле точечного
заряда (пропорциональное
). Это справедливо не только для точек,
которые лежат на линии, проходящей через
заряды +q и —q, но и для любых других
точек, достаточно удаленных от диполя.
Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Остроградского-Гаусса и ее применение к расчету поля бесконечно равномерно заряженной плоскости и конденсатора.
Поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью: (2.15)
Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен
,
а суммарный поток через все кубики,
заполняющие объем V, есть
(2.16)
Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.
Рис. 2.8 Рассмотрим два смежных кубика , поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 2.8), причем смежная грань входит как в S1 так и в S2. Очевидно, что при подсчете потока через S1 угол между внешней нормалью к этой грани и вектором а острый и вклад от этой грани в поток будет положительным. А при подсчете потока через S2 вклад от этой грани будет, очевидно, отрицательным.
Тогда полный поток через поверхность S=S1+S2 будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.
Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным
и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему
Тогда получим следующее выражение
Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать (2.17)
Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.