4. Методы искусственного базиса

Многие практические задачи ЛП не содержат линейно независимой системы единичных векторов , которую можно выбрать в качестве первого базиса задачи. В этом случае в задачу вводят дополнительно k единичных векторов , образующих базис.

Пусть задана следующая основная задача ЛП:

(1.9)

при линейных ограничениях

(1.10)

1 -й метод. Рассмотрим вспомогательную задачу:

при ограничениях

Переменные называются искусственными, а связанная с ними система векторов – искусственным базисом вспомогательной задачи. Следует здесь заметить, что если среди векторов есть векторы, которые могут быть элементами базиса, то в соответствующие равенства исходной системы ограничений нет смысла вводить искусственные переменные.

Теперь к вспомогательной задаче можно применить симплекс-метод и найти ее решение.

Теорема 1.6. Вспомогательная задача всегда разрешима. При этом . Если и достигается на плане , то вектор является опорным планом исходной задачи (1.9),(1.10). Если , то система условий (1.10) несовместна.

Продолжая итерации симплекс-метода для модифицированной последней симплекс-таблицы вспомогательной задачи, найдем решение исходной задачи. Модификация симплекс-таблицы состоит в удалении искусственных переменных и замене коэффициентов целевой функции вспомогательной задачи на соответствующие коэффициенты целевой функции (1.9).

2-й метод. Рассмотрим следующую расширенную задачу, часто называемую M-задачей:

( 1.11)

при ограничениях

(1.12)

где M – некоторое достаточно большое положительное число, конкретное значение которого обычно не задается.

Переменные также называют искусственными, а связанная с ними система векторов – искусственным базисом расширенной задачи.

Теорема 1.7. Если в оптимальном плане расширенной задачи (1.11),(1.12) все искусственные переменные равны нулю, то полученное оптимальное решение является решением исходной задачи (1.9), (1.10). Если в оптимальном плане расширенной задачи (1.11), (1.12) хотя бы одна искусственная переменная отлична от нуля, то исходная задача (1.9), (1.10) решения не имеет.

В этом методе искусственного базиса исходные данные расширенной задачи заносятся в таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица. Это связано с тем, что разности ( ) состоят из двух частей, одна из которых зависит от M, а другая – нет. В (k+2)-ю строку помещаются коэффициенты при M, а в (k+1)-ю – слагаемые, не содержащие M.

При переходе от одного опорного плана к другому в базис вводят переменную, соответствующую наименьшему отрицательному числу (k+2)-й строки. Искусственная переменная, исключенная из базиса в результате некоторой итерации, в дальнейшем не вводится ни в один из последующих базисов, и преобразование столбца симплексной таблицы, соответствующего этой переменной, не производится.

Пересчет симплекс-таблиц при переходе от одного опорного плана к другому производится по общим правилам симплекс-метода. Итерационный процесс по (k+2)-й строке ведут до тех пор, пока:

1. либо все искусственные переменные не будут исключены из базиса;

2. либо не все искусственные переменные исключены из базиса, но (k+2)-я строка не содержит больше отрицательных элементов в столбцах векторов .

В первом случае базис отвечает некоторому опорному плану исходной задачи, и определение ее оптимального плана продолжают по (k+1)-й строке симплекс-таблицы.

Во втором случае, если элемент, стоящий в (k+2)-й строке столбца вектора , отрицателен, то исходная задача не имеет решения; если же он равен нулю, то найденный опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит по крайней мере один из векторов искусственного базиса.