Алгоритм симплекс-метода

Рассмотрим алгоритм симплекс-метода применитетельно к общей задаче ЛП. На предварительном шаге алгоритма определяется возможность применения симплекс-метода к задаче ЛП.

Шаг 0. Прежде чем применять симплекс-метод к общей задаче линейного программирования, ее следует привести к каноническому виду. После приведения задачи к каконическому виду будем иметь:

при ограничениях

Векторы образуют базис. Если из векторов системы ограничений нельзя указать базис, то к такой задаче ЛП симплекс-метод напрямую не применяется.

Дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи записать в следующей симплекс-таблице:

Базис	сБ	c1	c2	…	cn+1	…	cn+k	bi	i
		x1	x2	…	xn+1	…	xn+k
xn+1	cn+1	a11	a12	…	1	…	0	b1
…	…	…	…	…	…	…	…	…
xn+k	cn+k	ak1	ak2	…	0	…	1	bk
j0		1	2	…	n+1	…	n+k	z

Шаг 1. По симплекс-таблице определяется опорное решение x⁽⁰⁾ следующим образом: все свободные переменные приравниваются нулю, а базисные – соответствующим значениям столбца . Начальный опорный план имеет вид: . Проверим его на оптимальность, для этого заполним строку индексов в таблице, по следующей формуле:

_{, или}

– значение целевой функции в точке .

Если в строке индексов нет отрицательных оценок, то вычисления следует завершить, так как текущий опорный план оптимален. В противном случае следует перейти к новому опорному решению, т. е. изменить базис.

Шаг 2. Для смены базиса выбираются ведущий (разрешающий) столбец и ведущая (разрешающая) строка из следующих условий:

,

Ведущая строка показывает, какая переменная будет из нового базиса удалена, а ведущий столбец – какая переменная будет в новый базис включена.

Если в ведущем столбце нет положительных элементов , то исходная задача не имеет конечного решения (т. е. ).

Ш аг 3. Строится новая симплекс-таблица, в которой вместо базисной переменной включена . Новые коэффициенты и пересчитываются по следующим формулам:

,

Перейти к шагу 1.

Последовательное выполнение вычислений шагов 1–3 составляет одну итерацию симплекс-метода.

Итерации повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимальный план или установлено отсутствие решения задачи.

Замечание. При выполнении вычислений шага 2 может получиться так, что min отношения окажется одинаковым для нескольких номеров i, т. е. сразу несколько строк таблицы могут быть разрешающими. Если выбирать ведующую строку произвольно, то это может привести к зацикливанию алгоритма симплекс-метода (вырожденный случай). Чтобы избежать этого, рекомендуется этот выбор осуществлять по следующему правилу: для данных строк таблицы вычисляются отношения: и находится строка, для которой это отношение является min. Если такая строка единственная, то ее считают разрешающей. В противном случае вычисляются следующие отношения: и т. д. В результате получим единственную разрешающую строку.