13 Вопрос

Тангаж

Тангаж (фр. tangage — килевая качка) — угловое движение летательного аппарата или судна относительно главной поперечной оси инерции (см. также поперечная ось самолёта). Угол тангажа — угол между продольной осью летательного аппарата или судна и горизонтальной плоскостью. Угол тангажа обозначается буквой θ (тета)^[1][2]. В авиации различают тангаж с увеличением угла (подъём носа) — кабрирование, и с уменьшением угла (опускание носа) — пикирование; вызывается отклонением руля высоты.

Это один из трёх углов (крен, тангаж и рыскание), которые задают наклон летательного средства относительно его центра инерции. По отношению к морским судам используется термин «дифферент» с таким же значением.

Существующие методы наведения баллистических ракет и ракет-носителей основаны на линеаризации зависимости конечных условий полета от управляющих параметров. [5] Это обстоятельство, в свою очередь, влияет на точность методов наведения и, в частности, приводит к завышению размеров областей падения отработавших ступеней рассматриваемых ЛА. Кроме того, анализ движения конкретного ЛА зачастую бывает связан с разработкой отдельного программного комплекса, в то время как для многих научных задач может потребоваться параллельное рассмотрение траекторий сразу нескольких типов ЛА.

В связи с этим, в настоящее время актуальны исследования, целью которых является построение алгоритмов наведения, основанных на нелинейном прогнозировании движения ЛА на активном участке траектории. Особенный интерес представляет разработка нелинейных алгоритмов прогноза параметров движения ЛА в терминальной точке траектории с использованием аналитических выражений.

В настоящей работе предлагается возможный вариант реализации такого прогноза. Он использует в качестве исходных данных зависимость продольной кажущейся скорости от времени и зависимость программы тангажа (как в жесткой, , так и гибкой, , формах). Такая форма задания зависимостей для программных функций уже много лет используется на практике как для программ управления тягой, так и для управления угловой ориентацией ЛА.

Рассмотрим идеологию возможного решения задачи прогноза концевых условий. Полное ускорение ЛА на активном участке траектории можно представить в виде векторной суммы кажущегося и гравитационного ускорений:

.

Здесь  – вектор кажущегося ускорения. Скорость полета ракеты на АУТ при этом рассчитывается в форме интеграла:

              (1)

Традиционно интегралы в (1) вычислялись численными методами, что приводило к упомянутым выше упрощениям (линеаризации) при синтезе алгоритма наведения.

В качестве исходных данных для реализации рассматриваемого полуаналитического метода интегрирования этих зависимостей принимаются табличные функции ,  и  (или ), полученные по результатам решения краевой баллистической задачи и расчета эталонной опорной траектории.

Использование только продольной составляющей кажущейся скорости ЛА, , для вычисления расчетной траектории в процессе наведения основано на многолетней практике использования таких зависимостей в качестве программных функций для регулирования кажущейся скорости в полете как для ракет-носителей, так и для баллистических ракет. Поэтому целесообразно для прогноза движения ЛА на активном участке при разработке математической модели, используемой при прогнозировании движения на активном участке, учитывать только продольные составляющие действующих поверхностных сил, а влияние оставшихся составляющих учитывать соответствующим подбором параметров рассматриваемой модели. Это обеспечивает компенсацию целого ряда формально неучтенных схематизацией предлагаемой выше модели факторов, влияющих на изменение продольного кажущегося ускорения. [4]

Представим значение продольной кажущейся скорости в некоторый момент времени t как сумму ее начального значения на момент времени t₀ ≤ t и приращения этой функции на интервале времени :

W_X1(t) = .

Анализ характера поведения функции  позволяет разбить функцию W_X1(t) на n характерных интервалов, получив таким образом ряд базовых аппроксимирующих функций , i = 1…n. Для аппроксимации приращений продольной кажущейся скорости в качестве базисных целесообразно выбрать две базовых функции: логарифмическую (для моделирования на участках полета, где используется маршевый режим работы двигателей) и параболическую (на участках полета с переходными режимами работы двигательной установки: при ее форсировании либо дросселировании).

Таблица 1

Базовые функции

Вид зависимости	Целевая функция	Базисная функция
Логарифмическая
Параболическая

 

Аппроксимация на каждом из интервалов осуществляется на основе метода наименьших квадратов. Минимизация невязок аппроксимации целевых функций осуществляется на основе критерия:

.

Это позволяет определить обобщенные параметры аппроксимации (табл.1) U_i и T_i для каждого из выбранных участков. Затем из всех типов возможных для каждого участка аппроксимаций выбирается тот, который обеспечивает наименьшее максимальное отклонение полученной аппроксимирующей функции от номинальных значений кажущейся скорости в узловых точках на всем интервале аппроксимации.

Аналогичным образом производится аппроксимация программы тангажа (при необходимости – программы рыскания), при этом для выбора характерных интервалов используется табличная зависимость , а в качестве базовых функций рассматриваются линейная и параболическая зависимости. Написанная на языке Delphi программа позволила получить аппроксимации кажущейся скорости и угловых программ для нескольких вариантов эталонных траекторий с погрешностью, не превышающей 2 м/с по кажущейся скорости и 0,2 º - по угловым программам.

В общем случае полученные интервалы аппроксимации кажущейся скорости и программы тангажа не совпадают (рис. 1), поэтому далее осуществляется их «наложение» друг на друга и пересчет обобщенных параметров для возникающих при их пересечении дополнительных интервалов.

Рис. 1. Иллюстрация наложения независимо полученных участков для программы тангажа и кажущейся скорости

Формулы для пересчета обобщенных параметров (ОП)  на участке t_1j..t_2iпри наложении (j-1)-го и j-го интервалов аппроксимации программы тангажа на i-ый участок аппроксимации кажущейся скорости приводятся в таблице 2. На участке t_1i..t_1j ОП не меняются.

Таблица 2

Формулы для пересчета обобщенных параметров.

Парабола	Логарифм

Зная аналитические выражения W_X1(t) и , на каждом из объединенных участков можно вычислить проекции приращений вектора  и кажущегося пути на оси начальной гироскопической геоцентрической системы координат:

                                 (2)

Интегралы (2) берутся аналитически с использованием известных специальных функций. Для различных математических моделей это могут быть интегральные синус и косинус или интегралы Френеля. Встречаются частные случаи без специальных функций. В соответствии с модифицированным методом интегрирования Нюстрёма [4], траектория восстанавливается по формулам:

(3)

Данный полуаналитический метод интегрирования (3) уравнений движения БР или РН открывает широкие возможности для модернизации метода терминального наведения по вектору требуемой кажущейся скорости; он позволяет производить интегрирование с крупным шагом, как правило, равным интервалу аппроксимации (порядка 10-15 секунд), и использовать при этом относительно несложные аналитические зависимости в сочетании с известными специальными функциями, что не требует значительных затрат вычислительных ресурсов БЦВМ при реализации нелинейного прогноза концевых условий полета.

Ввиду простоты реализации и высокого быстродействия процесса моделирования полета по одной траектории с использованием описанной методики, возможна реализация статистических испытаний алгоритмов наведения ЛА на персональных ЭВМ. Статистические испытания для данной универсальной модели представляют собой многократный расчет траекторий с учетом влияния случайных факторов, действующих на ракету, и начальных условий полета. При этом учет рассеивания значений аэродинамических сил и сил, создаваемых двигательной установкой (ДУ), производится непосредственно с помощью обобщенных параметров Uи T, входящих в аналитические выражения для кажущейся скорости. Через баллистические производные можно установить связь между параметрами эллипса рассеивания для данного изделия и отклонениями значений продольной кажущейся скорости от ее номинальных значений на каждом из участков аппроксимации. Это позволяет оценить предельные отклонения кажущейся скорости от номинальных значений. Далее с использованием датчика случайных чисел (ДСЧ) по нормальному закону распределения вероятностей синтезируются случайные значения продольной кажущейся скорости с учетом действующих возмущений по форме: , где X – случайное число,  – номинальное значение (математическое ожидание),  – дисперсия, определяемая из предельного отклонения.

Из полученного «реального» значения приращения продольной кажущейся скорости можно получить и обобщенные параметры U и T, доставляющие именно такое значение W_X1(t).

Одним из наиболее перспективных свойств данной методики является ее универсальность. По описанным алгоритмам можно восстанавливать траектории широкого спектра ЛА: ракет-носителей, разгонных блоков, баллистических ракет.

Метод может быть пригоден для восстановления траектории вновь разрабатываемых или уже существующих ракет в условиях неполной информационной обеспеченности.

В перспективе ожидается разработка алгоритма терминального наведения с реализацией быстрого прогнозирования конечного положения ЛА и соответствующей коррекцией программ управления.