Абсолютная непрерывность интегралов Лебега от суммируемых функций

ТеоремаПусть существует функцияE вRⁿ, измеримая по Лебегу иmE>0. Пустьf измерима по Лебегу наE и суммируема на Е, тогда>0 существует>0 зависящая только отE,f, : FE : mF< в.с. <

опр: - функции (обобщенной)

Пусть tR – фиксированное число, обозначим_tD' – такой линейный непрерывный функционал, чтоfD (_t,f)=f(t) (1). -функция в точкеt

Пусть h>|t| => |(_t,f)| = |f(t)| < max_|x|<n|f(x)|=P_0n(f)

Утв: Несуществует h – локально суммируемой функции: ^_h=_t (2)

Опр:Обобщенные функции наR, которые не могут быть получены с помощью локально суммируемых функций называютсясингулярными обобщенными функциями

Носитель (спектр) обобщенной функции

Пусть существует fD, то ее носительsupp f= - замыкание

Предположим, что D', некое открытое множествоR, будем называть- нулевым множество для (Z_)

fD : supp f   => (,f)=0 (6)

Нулевым множеством Z_ обобщенной функции мы будем называть объединение всех, содержащихся в нулевом множестве.

Это не тавтология, т.к.  удовлетворяющего (6) вводим термин, что это конкретноеZ_ не придаем фразе «Нулевое множество» определенного смысла, по определению в качествеZ_ берем все такие.

Z_=

ТеоремаНулевое множествоZ_ обобщенной функции это максимальное открытое множество (в том смысле, что оно содержит в себе любое другое открытое множество со следующими свойствами.

fD : supp fZ_ => (,f)=0 (6')

Опр:Носителем(спектром) обобщенной функции называетсяsupp =R\Z_.

Замечание: supp <=>=0

Действия которые можно производить над обобщенными функциями

0. умножение на число, сложение

1. Пусть существует функцияaC^(R) ; D`, тогда=a : (a,f)=(,af)

2. _(t) – сдвиг на параметрt

(_h,f)====

(a_(t),f)=(,f(x+t)) (8)

0. Производная обобщенных функций '

(',f)=-(,f') (9)

3') ^(-) – этоh(-x)

(a^(-),f)=(,f(-x))

0. Свертка обобщенных функций

,, supp , supp  - компактны, тогдаfD (t)=(_,f) (10)

Опр:При фиксированнойfD формула (10) дает функциюf, при условии, чтоsupp  компактен.

(*,f)=(,)

Свойства свертки

=*

(*=*

Метрические пространства

X

Декартово произведение X^xX

Функция (x,y)>0 называется метрикой, если

1. (x,y)>0

2. (x,y)=0 <=> x=y

3. x,y (x,y)=(y,x)

4. x,y,zX (x,y)<(x,z)+(z,y) – неравенство треугольника

Метрика задана на множестве X, тогдаX называется метрическим пространством.

Пространство X,  точка пространстваX – элементX

Пусть точки X_nX иyX

говорят, что X_ny приn, если >0 существуетN : n>N в.н.(x_n,y)<

Важное Опр:

Пусть существует метрическое пространство X, с мерой и пусть последовательностьX_nX

последовательность X_n называется фундаментальной последовательностью (Коши), если>0 существуетN : n>N в.н.(x_n,x_m)<

Утв:Если X метрическое пространство иX_ny приn, тогдаX_n является фундаментальной последовательностью.

Опр:Метрическое пространствоX называется полным если для любой фундаментальной последовательностиX_n найдется такой элементyX : X_ny приn

Банаховы пространства

Пусть линейное пространство L ипусть в этом пространстве существует нормаp(x), в данном случае обозначающаяp(x)=0 <=> x=0

Наличие нормы позволяет превратить L вметрическое пространство

(x,y)=||x-y||

Опр:Полное метрическое пространство, вкотором метрика определена с помощью нормы называется Банаховым пространством.

Это пространство имеет следующую структуру:

1. Существует умножение на комплексное число

2. Существует сложение элементов Банахова пространства

3. Там существуют нормы

4. Оно является полным.

Важные примеры банаховых пространств:

Не написал, если попадется повешусь

Опр:Пусть существует 2 банаховых пространстваx,y иB:xy, операторB называется непрерывным или ограниченным, если существуетM(которое не зависит отx) : xX : ||x||_X<1 : ||Bx||_y<M (2), тогда мы можем определить норму оператора следующим образом :||B|| = inf M, для которых выполняется (2)

Наделение множества всех операторов xy структурой линейного пространства

1. Пусть существует cС,B:XY непрерывный

cB:xy (cB)(x)=cB(x) по определению

2. Пусть существует B₁,B:XY, определим операторB₁+B₂

(B₁+B₂)(x)=B₁x+B₂x

3. опр 0:XY нулевой оператор

0x=0y

Обозначим множество всех линейных операторов XY OP(X,Y)

4. Норма нулевого оператора = 0

5. Неравенство треугольника ||B₁+B₂||<||B₁||+||B₂||

6. Надо доказать, что ||B₀||=0 => >0 иxX ||x||_X<1

ТеоремаЕсли x,y банаховы, то множество линейных непрерывных операторовXY, с нормой определенной выше является банаховым.

Пусть существует банаховы пространства X,Y и существует линейный операторB:XY, где ||B||=inf M : xX ||x||_X<1 ||Bx||_y<M (1)

Пусть существует операторы A,B : A:XY; B:XY

возьмем xX с||x||<1, тогда||Bx||_Y<||B|| ||x||_X => ||(A+B)x||_Y=||Ax||_y+||Bx||_y<||A||||x||_X+||B||||x||_X<||A||+||B|| => ||A+B||<||A||+||B||

Пусть существует 3 банаховых пространства A:XY иB:YZ

рассмотрим операторBA (сначалаA, потомB)

BA:XZ

||BA||_XY <||B||_YZ ||A||_XY