Функциональный анализ.

Опр:Рассмотрим Rⁿпространств (n>=1).

Пусть существует набор чисел

Открытым параллелепипедом P будет множество точек с координатамиЗамкнутый параллелепипед

Полуоткрытый параллелепипед

n=1 промежуток

n=2 прямоугольник

По определению объема параллелепипеда V(P)=V(P)=V(Q)=(b₁-a₁) (b₂-a₂)…(b_n-a_n)

n=1 длина промежутка

n=2 площадь прямоугольника

Множество E, ERⁿмы будем называть основным, если существует S₁, … S_m, .. где любое S_kявляется либо P, либоP, либо Q

(объединение может быть счетное)

Утв:Любое основное множество может быть представлено в виде конечного или счетного объединения::_k_l=, kl

Опр:Пусть основное множество представлено в виде параллелепипедов:_k_l=, kl, тогда по определению объемом основного множества называется V(E)=, если этот ряд сходится. Если этот ряд расходится, то V(E)=+

ТеоремаПринципиальная теорема о корректности определения объема основной фигуры.

Пусть существует основное множество в Rⁿ, ERⁿ, представленное в виде объединения других не пересекающихся параллелепипедов.и, где_и_kпопарно не пересекаются =>

=, если сходится один из них и суммы равны, то второй сходится, либо оба расходятся, т.е. объем основной фигуры не зависит от разбиения.

Опр:Пусть существует множество SRⁿ, оно будет называться дополнительным, если существует некий параллелепипед P любого типа, и если существует основное множество EP : S=P\E

Опр:Объемом дополнительного множества называется V(S)=V(P)-V(E)

ТеоремаПринципиальная теорема о корректности определения объема дополнительного множества. Пусть существует S=P\E=P₁\E₁, где P, P₁– произвольные параллелепипеды, E, E₁– основные множества

V(P)-V(E)=V(P₁)-V(E₁)

ТеоремаОб универсальности термина объема.

Пусть существует множество Т которое является и основным и дополнительным. Пусть V_осн(T) – объем от Т как основное множество, V_доп(T) – объем Т как дополнительно множество, тогда эти величины совпадают V_осн(T)=V_доп(T)

Принципиальные примеры оновных, дополнительных множеств.

1. Любое открытое и не пустое множество в Rⁿявляется основным множеством.

2. Любой компакт является дополнительным множеством.

Опр:Понятие внешней меры множества.

Пусть ERⁿограниченное => существует PE (P – параллелепипед)

Значит существует основное множество L : LE

Мы можем определить внешнюю меру множества E.

^*E=

Важнейшие свойства внешней меры.

1. ^*E>0

2. Пусть E₁E₂, E₁,E₂– ограничены =>^*E₁<^*E₂

3. Если ^*E<- E_k– могут попарно пересекаться

Внешняя мера определена для любого ограниченного пространства

Опр:Понятие внутренней меры

Терминологическое дополнение

Пустое множество и Rⁿявляется основным и дополнительным

По определению V()=0, V(Rⁿ)=+

Пусть существует множество F – ограниченное, тогда существует K – дополнительное множество KF (например K=)

Можно рассматривать V(K) – объем дополнительных множеств.

- внутренняя мера F

Внутренняя мера может быть определена для любого ограниченного(конечного) множества.

Принципиальные свойства внутренней меры.

1. ^*F>0

2. Пусть F₁F₂, F₁,F₂– ограничены =>^*F₁<^*F₂

3. Если F – огр. ^*F>- F_k– не могут попарно пересекаться

Для любого множества могут быть определены две характеристики: внешняя и внутренняя мера

4) E_*E<^*E

ТеоремаПусть Е – ограниченное множество, либо основное, либо дополнительное, тогда_*E=^*E=V(E) (Если нет равенства, то E очень сложное множество)

Опр:Самое принципиальноеОпр:в теории Лебега.

Пусть E – ограничено, E, ERⁿ

Будем говорить что множество Е измеримо по Лебегу, если для него выполняется соотношение _*E=^*E, при этом мерой Лебега множества Е будем называть mE=_*E=^*E

Замечание: Из теоремы следует, что основное и дополнительное множество, если они ограничены, являются множествами измеримыми по Лебегу и мера Лебега для них равна их объему.

Счетная аддитивность меры Лебега

ТеоремаПусть множество E_k, k=1,2.. (счетное или конечное)

E_kE_l=, kl

E_k– ограничено и измеримо по Лебегу, тогда множество Е тоже измеримо по Лебегу и выполняется соотношение mE=

Опр:Распространение понятия измеримости по Лебегу и меры Лебега на неограниченные множества.

Пусть ERⁿ, E – неограниченно

Пусть B_R={||x||<R} – шар с центром в 0 и радиусом К

Будем говорить, что множество E измеримо по Лебегу, если R>0, EB_R– измеримо.

Основные свойства измеримых множеств:

1. mE>0

2. Пусть EF, то mE<mF

3. E,F – измеримы, то EF,F, E\F – измеримы

4. Пусть существует E_k, k>1 – конечное или счетное множества,Е_k– измеримо,и- измеримые множества

5. E_kk>1 необязательно ограниченные, измеримые, попарно не пересекающиеся Пусть- конечное или счетное объединение, E – измеримо по определению и mE=, если ряд сходится и mE=, если ряд расходится

6. a) Пусть существует E₁Е₂…E_kE_k+1…, E_k– измеримо по Лебегу

, тогда mE=

b) Пусть существует F₁F₂…F_kF_k+1…, F_k– измеримо по Лебегу

F=, тогда mF=

7. Пусть E,E_k, k>1 – измеримые множества, E_k– счетное или конечное

, тогда mE<

ТеоремаПринципиальная теорема о существовании измеримых множеств:

В Rⁿсуществует ограниченные множества E : в.с._*E<^*E, такие множества называются неизмеримыми по Лебегу.

Множества меры нуль и некоторые их свойства:

Опр:Множество ERⁿизмеримо по Лебегу называется множеством меры нуль, если mE=0

Утв:Для того, чтобы множество E было множеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы^*E=0

Следствия:

1. Множество ERⁿявляется множеством меры нуль тогда и только тогда, когда>0 существует основное множество L : EL и V(L)<

2. Пусть ERⁿмеры нуль и пусть существует FE, тогда mF=0

3. Пусть существует E_kRⁿE_k– счетное или конечное множество k>1,E_k– меры нуль, тогда E – множество меры нуль.

Важный термин

В дальнейшем, если некое рассматриваемое свойство будет справедливо для (), какого-то множества, за исключением какого-то множества меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется почти всюду.

Утв:mQ=0, т.к.r_k– точки, мера точки = нуль

Следствие:

Рассмотрим интервал (a,b), Пусть I=(a,b)\Q

K=(a,b)Q => KQ => mK=0

т.к. (a,b) и Q – измеримы, то I – измеримо

IK=(a,b), IK==> mI+mK=m(a,b)=b-a=> mI=b-a, т.е. иррациональных чисел, много больше, чем рациональных.

Свойства измеримых множеств при линейных преобразованиях в Rⁿ

1. Пусть Е aRⁿ(a – вектор)

Рассмотрим преобразования h_a:xRⁿx +a (параллельный перенос в Rⁿ)

Утв:E – измеримо, L_a(E) – тоже измеримо и m(L_a(E))=mE

2. Пусть существует t>0

Рассмотрим преобразование R_t(x)=(tx₁,…,tx_n), X=(x₁,…,x_n) – растяжение или сжатие по всем координатам. Если Е измеримое, то R_t(E) – измеримо и mR_t(E)=tⁿmE – объем параллелепипеда изменен в tⁿраз

3. Пусть существует преобразование Y=MX, которое задается матрицей M_n,n,X=[x₁,…,x_n] (столбец), M – необязательно невырожденная.

Е – измеримо => ME – измеримо и m(ME)=|det(M)|mE

Если det(M)=0, а mE=, то m(MRⁿ)=0

Образ Rⁿ– пространство меньшей размерности

Если det(M)0, то обратимое линейное преобразование, прямоугольный параллелепипед переходит в косоугольный.

Соотношение измеримости по Лебегу и меры Лебега в пространствах разной размерности

Утв:Мера m(R^n-1x {0})=0

Опр:Пусть существует x₂R¹, тогда сечение множества{x₁R¹: (x₁,x^o₂)E} (^o– для фиксированности)

ТеоремаДля того, чтобы множество E было m₂- измеримо по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобы для m₁почти всюду x^o₂R¹(за исключением множества лежащего на прямой), множества

были m₁- измеримы.

ТеоремаОбщая теорема о соотношении измеримости множества по мере Лебега в различных пространствах

Пусть существует n>k>1

Рассмотрим множество ЕRⁿ

точку XRⁿ, X=(x₁,…,x_n); X'=(x₁,…,x_k), X"=(x_k+1,…,x_n); X=(X',X").

Построим многомерные аналоги для сечения.

Фиксируем точку X"_*R^n-k, определим множествоR^n-k, : (X'<=>(X',X"_*)E)

нумеруется точками из R^n-k, а само принадлежит R^k, поэтому определено все Rⁿ

Нас интересуют X"_*R^n-k: множество проходящие через них будут измеримыми по трем мерам Лебега, в Rⁿ, R^k, R^n-k

Для того, чтобы множество Е было измеримо по мере Лебега в Rⁿ, необходимо и достаточно, чтобы при почти всех m_n-kточках X"_*, соответствующее множество было измеримо по мере Лебега m_k.

Теоремао соотношении множества меры нуль и меры больше нуля в пространствах разной размерности.

1) Пусть существует множество ЕRⁿи оно измеримо по мере Лебега. Тогда для того, чтобы m_kE>0, необходимо и достаточно, чтобы m_n-kF>0, где F={X"_*R^n-k: измеримо и m_k>0}

2. Эквивалентная переформулировка для множества меры нуль.

Пусть существует множество АRⁿ, для того чтобы m_nA=0, необходимо и достаточно, чтобы почти всюду, m_n-kX"_*, m_k=0 (чтобы почти всюду сечения были меры нуль, по своей мере n-k).

Индуктивное вычисление меры Лебега ограниченных открытых множеств.

Утв:Функцияf ограничена и непрерывна на любом интервале (a_k, b_k)prE

Значит она интегрируема по Риману и справедлива формула m_n+1E=

Измеримые функции

Опр:Пусть существует множествоERⁿ, которое измеримо иE

Пусть функция f определена на множествеE. Пустьa – любое вещественное число. Определены 4 множества, которые называются множествами Лебега.

E_a1={xE : f(x)<a}

E_a2={xE : f(x)<a}

E_a3={xE : f(x)>a} все могут быть пустыми

E_a4={xE : f(x)>a}

Функция f называется измеримой, если множестваE_ak измеримыа, k=1,2,3….

Утв:Еслиa и при каком-либо фиксированом индексеk все множестваE_ak измеримы, то функцияf измерима.

Свойства:

Пусть , E_k – измеримо => Е – измеримо

E_mE_k=, mk

Пусть f задана наE

1.

1. f |_Ek измеримаk, тоf – измерима наE. f, суженная наE_m

2. f измерима наE, тоf |_Ek измерима наk

2. Пустьf(x)=c, xE, E- измеримо, тогдаf(x) – измеримая

3. Множество E разбито на счетную совокупность измеримых множеств.

f |_Ek=c_k, тогдаf измеримо

Важные примеры измеримых функций

Пусть GRⁿ либо открытое, либо основное,G

Пусть f ограничено и непрерывно наG, тогда она измерима наG.

Связь измеримости функций в пространствах разного числа переменных

Пусть существует ERⁿ , 1<k<n, E – измеримо вRⁿ

x=(x', x"), x'=[x₁,…,x_k], x"=(x_k+1,…,x_n)

={x'Rⁿ : (x', x"₀)E – сечение

на Е определена некая функция f

если взять фиксированный x"₀ , то можно рассмотреть(x')=f(x',x"₀) приx', если, то иf=0, иначеf функция лежащая в пространстве меньшей размерности.

E_a1()= если рассмотрим сужение функции наE и рассмотрим точку, где она<a, это<=> если рассмотреть все множество, где функция< a и рассмотрим сечение этих множеств.

Арифметические действия над измеримыми функциями

ERⁿ – измеримо

1. f – измеримо,k – const => kf – измерима,k=0 – неверно.

2. f – измеримо => | f | измеримо (но не<=)

3. f(x)0xE – измерима=> ¹/_f – измерима

4. f – измерима => f² – измерима

5. Пусть f,g измеримы наE => f+g измерима наE.

6. Пусть существует f₁,…,f_k – измеримо => с₁f₁+…+c_kf_k – измеримы

7. Пусть f,g – измеримы => fg – измерима

8. Пусть существует f₁,…,f_k – измеримы => f₁f₂f₃…f_k, в частностиfⁿ – измерима

- измеримыf(x)0

9. f(x)0 и измерима,g – измерима => ^g/_f – измизмерима

Эквивалентность функций

Пусть существует ERⁿ измеримы

f,g – функции заданные на Е

Будем говорить, что f,g – эквивалентны(f~g), еслиGE : XG<=>f(x)g(x), еслиmG=0

1. f~g, g~h => f~h.

Пусть HE, g(x)h(x) => mH=0

GH – объединение множеств меры нуль => m(GH)=0

K : f(x)рр

h(x) KGH => mK=0 (K - точка )

2. Утв: Еслиf – измерима иf~g, тоg – измерима.

3. Утв:ПустьE – измеримо,f,g – заданы наE

g~f и заданы числаa<b

Рассмотрим множества: m(E_b2(f)E_a3(f))< - конечно =m(E_b2(g)E_a3(g))<

K_f={a<f(x)<b}

K_g={ a<f(x)<b}

4. Действия над эквивалентными функциями дают эквивалентные функции.

Интеграл Лебега

Интеграл Лебега по множеству конечной меры от ограниченной, измеримой функции.

ERⁿ E – измеримой иmE<

Пусть f определена на Еf – измерима и ограничена. СуществуютA,B : A<f(x)<B

Опр: Верхние и нижние суммы Лебега.

Считаем, что A,B – определены

Разобъем промежуток A,B на интервалы (разбив множество значащих функций).

S : A=S₀<S₁<…<S_k=B

E_k(S)={xE : S_k-1<f(x)<S_k} k=1,2,…,n

E_k(S)=E_Sk-1(f)E_Sk,2(f) – измеримо

Любое E_k(S) является измеримым (м/б пустым)E_k(S)E_l(S), kl, т.к. еслиk<l, тоf(x)<S_k иf(x)>S_l-1

E_k(S)E => mE_k(S)<+

- по свойству аддитивности

mE (1)

верхние суммы Лебега L⁺(f,S), нижние– L^-(f,S)

L⁺(f,S)

L^-(f,S)

Свойства:

1. A<S_k-1<S_k<B (приk=1 S₀=A)

AmE<L^-(f,S)<L⁺(f,S)<BmE (2)

2. S, A=S₀<…<S_k=B

, S_i-1<<S_i – добавим точку перенумеровывать не будем

E_i(S) S_i-1<f(x)<S

E'_i(S) {xE : S_i-1<f(x)<}

E''_i(S) {xE : <f(x)<S_i}

E_i(S)=E'_i(S)E"_i(S)

mE_i(S)=mE'_i(S)+mE"_i(S)

Рассмотрим разность сумм Лебега

L^-()-L^-(S)=S_i-1mE_i'(S)+mE_i"(S)-S_i-1mE_i(S). (все остальные слагаемые одинаковые, сокращаются)>

>S_i-1mE_i'(S)+S_i-1mE_i"(S)-S_i-1mE_i(S)=0

аналогичное доказательство, что L⁺(S)-L⁺()>0, т.е. получим, что если добавляем 1 точку, то L^-(S)<L^-()<L⁺()<L⁺(S)

3. Пусть SS_* (как множество), тоL^-(S)<L^-(S_*)<L⁺(S_*)<L⁺(S)

4. ,S L^-(S)<L⁺()

т.о. нижняя сумма Лебега< верхней суммы Лебега

введем: I_*=sup_S L^-(S)

I^*=inf_S L⁺(S) => I_*<I^* (3)

Теоремав рассмотренной ситуацииI_*=I^*

Общее значение I_*=I^*=I называется интегралом Лебега от функцииf по множествуE ипо мере Лебега.

Интеграл Лебега существует для множества конечной меры и функции измеримой и ограниченной.

I=

Свойства интеграла Лебега

1. E – измеримо, мераE конечна

f,g – ограничены,f~g, f,g – измеримы, тогда =

2. f₀^(x)=c₀ xE => =с₀mE

2.' f₁~c₀ может отличаться отc₀ на множестве меры нуль, то =с₀mE

2." f₂~0, то =0

3. Пусть E : mE=0, тогда =0f

4. Пусть , E_n – измеримое, ограниченное => E – ограниченноE_nE_m=, nm

f – измеримо наE (=> измеримоE_n => существует_En иcуществует_E), тогда выполняется соотношение =(3)

если множество конечное число, то сумма, если счетное, то сумма ряда и этот ряд сходится абсолютно. Свойство 4 называется счетной адитивностью

4.' Пусть выполняется условие 4 дляE, E_n

Пусть f~C_n приxE_n, A<C_n<B n, тогда =

5. A<f(x)<B

Возьмем A₁, B₁ : A₁<f(x)<B₁ получится тоже самое

A<A₁, A₂=max(A,A₁)

S_i<A₁, тоE_i(f,S)=

Пусть f измерима, ограничена наE и выбраны такие точкиA₁, B₁. Тогда , построенные по[A,B) ; [A₁, B₁) совпадают.

6. Пусть f(x)>c₀ xE >c₀mE

Пусть f(x)<c₁, <c₁mE

6.' =k, дляk0

7. ||<

8. =+

9. Пусть f>g => >

10. Пусть f>g и =, тогда f~g

10.' f>0 и =0 => f~0

11. Связь между интегралом Римана и интегралом Лебега

Пусть функция интегрируема на (a,b) по Риману, тогда она измерима по Лебегу.

=

11.' Существенное дополнение к теории интеграла Римана.

Для того, чтобы функция f измеримая и ограниченая на (a,b) была интегрируема по Риману на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы в почти каждой точки(a,b) она была непрерывна.

Распространение теории интеграла Лебега на неограниченные измеримые множества.

Пусть ERⁿ mE<

Пусть существует E, функцияf измерима на Е

f_l(x)={f(x) : |f(x)|<l ; 0 : |f(x)|>l}, множество{f(x)>l}B{f(x)<-l} – измеримо

|f_l(x)|<min (l,|f(x)|) – множествоE – конечной меры, можно написать=a_l

Опр:Говорят, что функцияf суммируема на множествеE, еслиa_l<c_f l>0

Ограниченность означает, что существует конечный предел : существует , =a_+

Теорема Для суммируемых функций справедливы следующие свойства:

Рассмотрим множество E₊ : {XE : f(x)>0}, по свойству 4 ИЛ, из суммируемостиf наE => суммируемостьf наE₊, гдеxE : |f(x)|=f(x)

=

Рассмотрим множество E_{_} : {XE : f(x)<0}, по свойству 4 ИЛ, из суммируемостиf наE => суммируемостьf наE_{_}, гдеxE : |f(x)|=-f(x) ; f(x)=-|f(x)|

=

Если f суммируема наE, то по определению ==

Распространение интеграла Лебега на множества бесконечной меры для измеримой функции.

Пусть существует ERⁿ, ноm_nE=+

Пусть существует f измеримая наE

Рассмотрим шар B_R={||x||<R} иE_R=EB_R

Пусть f суммируема на любомE_R, определим функцию на полуосиl(R)=

Опр: Говорят, что функцияf суммируема на множествеE, если функцияl(R) ограничена, т.е. существуетC_f' : l(R)< C_f' R, тогда (по теореме о существовании предела монотонной функции) существует конечный предел: , полагаем =l(+)

Утв:Для суммируемых функций на множестве бесконечной меры справедливы свойства1-10

ТеоремаФубини

Пусть существует ERⁿ, 1<k<n

f – измерима, суммируема на Е

Пусть x'=(x₁,…,x_k) – первыеk координат

={yR^n-k : (x₀',y)E}, тогда при почти всехx₀' функцийf суженная на суммируема по (n-k) мерной мере Лебега и верна формула: =

Понятие пространств L^p

Пусть существует E – измеримо иmE>0, p>0

L^P(E) состоит из всех таких функцийf измерима наE

для которых |f(x)|^P суммируем на множествеE, значит определен <+

p=1

L¹(E) состоит из всех функций суммируемых на Е, далее будем рассматривать1<p<+

=0 <=> f₀~0

Если fL^P(E), то

Теорема Неравенство Минковского (1<p<)

f,gL^P(E) в.с.

Некоторые концепции теории рядов Фурье с точки зрения интеграла Лебега

Пусть E = (-,)R¹, рассмотрим функции f, суммируемые на E, тогда мы можем рассмотреть f(x)cos(nx) и f(x)sin(nx), также суммируемых на E.

тогда можно определить коэффициенты Фурье суммируемой функции.

(1)

Если f~0, тогдаa₀=a_n=b_n=0

ТеоремаПринципиальная теорема, обратная к соотношению (2)

Пусть f измерима на (-,), которая суммируема на этом множестве, построим по ней коэффициенты Фурье по формуле (1)

Предположим, что a₀=a_n=b_n=0 n, тогдаf

Равенство Парсеваля

Лемма: Пусть mE< и пусть1<p₁<p₂ => L^P2(E)L^P1(E) в частностиL²(-,)L¹(-,)

Пусть a₀, a_n, b_n – коэффициенты Фурье,fL²(-,), тогда верно

=<+

ТеоремаРисса-Фишера

Пусть A₀, A_n, B_n удовлетворяет условию <+, тогда существует функцияgL²(-,) : ее соответствующие коэффициенты Фурье совпадают сA₀, A_n, B_n