Обобщенные Функции (Лоран Шварц)

Опр:Линейным пространствомL над полем комплексных чисел (или комплексным линейным пространством называется непустое множество элементов, для которых определены следующие свойства.

1. Определена операция сложения

x+yL x,yL со свойствами:

1. x+y=y+x

2. (x+y)+z=x+(y+z)

3. Существует некий 0 L : x+0=x xL

4. xL существует единственный (-x) : x+(-x)=0

2. xL cC : cxL

1. с₁(с₂x)=(c₁c₂)x

2. 1x=x

3. (c₁+c₂)x=c₁x+c₂x

4. c(x+y)=cx+cy

5. 0x=0

6. (-1)x=(-x)

Полунормы в комплексном пространстве Опр: Пусть существует линейное l (может состоять только из нуля)

полунормой p на этом пространстве называется отображениеp:LR⁺ со следующими свойствами:

1. p(cx)=|c|p(x), xL, cC

1') p(0)=p(0x)=0p(x)=0

2. p(x+y)<p(x)+p(y) - неравенство минковского

Дополнение к определению:

Если полунорма p на линейном пространствеL :

p(x)=0 => x=0, то такая полунорма называется нормой.

Опр:Счетно нормированное пространствоL мы будем называть счетное линейное пространствоL на множеством комплексных чисел, на котором определено счетное число полунормp_n со следующими свойствами:

Если x₀L, P_n (x₀)=0 n => x₀=0 в пространствеL

Линейные функционалы на счетнолинейном пространстве

Опр:Пусть существует счетнонормированое пространство

Линейным функционалом называется отображение

f:LC (f,x)C со свойствами:

cC :

1. (f,cx)=c(f,x)

1') (f,0)=0

2. (f,x+y)=(f,x)+(f,y)

2') (f,(x-x))=(f,x)+(f,-x)=0 => (f,(-x))=-(f,x)

Опр:линейных непрерывных функционалов на счетнонормированном пространстве

Пусть существует линейное нормированное пространство L и линейный функционалf, он называется непрерывным вточке x₀, если>0 существуетU(x₀) xU(x₀) в.с.|(f,x-x₀)|<

Утв:Если линейный функционал f непрерывный вточке x₀, то он непрерывный в 0, и наоборот.

Утв:Все линейные функционалы на пространствеCⁿ непрерывны, множество всех линейных непрерывных функционалов наCⁿ (обозначаетсяCⁿ'), совпадает с самимCⁿ.

Опр:Пусть существует счетнонормированное пространствоL, множество всех непрерывных линейных функционалов наL называется сопряженным.

Свойства L':

Пусть существует fL'

Пусть существует cC

1. (cf,x)=c(f,x)

2. Пусть существует 2 линейных непрерывных функционалаf₁, f₂L'

тогда f₁+f₂=(f₁,x)+(f₂,x)

3. 0 в пространствеL'

0'L' = (0',x)=0 x

4. Пусть существует fL', то (-f,x)=-(f,x)

Опр: Носитель функции f : supp f =E, гдеE={xR : |f(x)|>0}

Множеством основных функций D будем обозначатьD={fC^(R) : supp f – компакт}

Утв: D – не состоит из функций=0, оно бесконечно мерно.

Свойства функций для fD

fD => cfD

f,gD => f+gD вне носителяf+g=0

fD, aC^ => afD

supp af supp f

fD => f 'D вне носителяf=0

supp f ' supp f

f(x)D => f(x-)D

Опр:Пространством обобщенных функций наR называется множествоD' – множество сопряженное к множествуD, основных функций наR – множество линейных непрерывных функционалов.

Теорема1.

Пусть D', тогда существуетn₀, k₀, c>0 не зависящее отfD : |(,f)|<c(p_0n0(f)+p_k0n0(f)) и обратно: если - некий линейный функционал наD, который удовлетворяет|(,f)|<c(p_0n0(f)+p_k0n0(f)) при некоторых n₀,k₀, c>0, которые не зависят отf, тогда - линейный непрерывный функционал наD, т.е.D'

Пример обобщенных функций

Опр:Пусть существуетh=u+iv, которая определена на измеримомER, то мы будем называтьh измеримой, еслиu,v – измеримы, будем называтьh – суммируемой наE, еслиu,v суммируемы наE, будем полагать, что =+i

Опр:Пусть существуетh комплекснозначная – определенная на всемR и измерима наR, будем называтьh локально-суммируемой, если она суммируема на[-A,A]

Пусть h – локально суммируема, определена на всей оси

(_h,f) _h которая действует наfD следующим образом (_h, f)=

||< любая локально суммируемая функцияh порождает некую обобщенную функцию

ТеоремаЕсли функцииh₁,h₂ измеримы на всемR, локально суммируемы и =, тоfD => h₁~h₂

и обратно, если h₁~h₂ => fh₁~fh₂ =>=

Следствие:Получается, что если рассмотретьh^ - совокупность всех функций эквивалентныхh, то получится, что мы можем классуh^ сопоставить некую обобщенную функцию^ из (_h, f)= : h^^_h, где беретсяhh^, еслиh^_ h^_, то и ^₁^₂.

Опр:Обобщенные функции, которые получаются по (_h, f)= с помощью какой-то локально суммируемой функцииh называются регулярными обобщенными функциями.

h^^_h взаимнооднозначное соответствие.