- •Глава 1:введение в анализ.
- •U – высказывание.
- •Параграф 5: последовательность. Точка. Предел последовательности.
- •Параграф 6: предел последовательности.
- •Параграф 7: бесконечно малые величины.
- •Параграф 8: бесконечно большие величины.
- •Леммы о бесконечно больших.
- •Параграф 9: теоремы о пределах.
- •Параграф 10:предел функции
- •Параграф 11: одностороние пределыслева и справа точки .
- •Параграф 12: предел функции на бесконечности.
- •Определение предела функции на бесконечности на языке окрестностей.
- •Параграф 13: замечательные пределы.
- •Формулы гиперболической тригонометрии.
- •Параграф 14: взаимные пределы, основанные на втором замечательном пределе.
- •Параграф 15: сравнение бесконечно маленьких.
Параграф 10:предел функции
Опр. 1:Постоянное число называется пределом функции при , если для любого существует число , такое, что при выполнении неравенства следует выполнение неравенства .
или
Запишем неравенство (1)и(2)без модуля:
Двойное неравенство (3) определяет – окрестность точки на оси абсцисс.
Двойное неравенство (4)определяет – окрестность точки на оси ординат.
Определение предела функции означает, что по выделенной производной – окрестности точки на оси определяется – окрестность. Есть точка на оси такая, что как только переменная попадает в – окрестность своей предельной точки , так сейчас же переменная попадает в – окрестность своего предельного значения .
Замечание
В определении предела указывается, что т. к. в точке функция может быть не определена.
Все теоремы о пределах, сформулированные и доказанные для случая переменной , т. е. последовательности, переносятся без существенных изменений на случай предела функции.
Параграф 11: одностороние пределыслева и справа точки .
Сформулированное определение предела в предыдущем параграфе относится к так называемому двустороннему пределу, что означает, что переменная приближается к своему предельному значению с любой стороны, и слева, и справа. В некоторых случаях двусторонний предел может не существовать, но существуют односторонние пределы, когда переменная приближается к только с одной стороны, или слева, или справа. В этом случае указывается соотношение или .
Запись
– предел слева.
– предел справа
Второй вариант записи:
– предел слева.
ТЕОРЕМА:
Для того, чтобы в точке существовал двусторонний предел функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и они были равны между собой:
Параграф 12: предел функции на бесконечности.
Опр. 1:Постоянное число называется пределом функции при , если для любого можно указать число , что при выполнении неравенства , следует выполнение неравенства: .
Заменим неравенства (1) и (2) без модуля:
Геометрическая интерпретация определения предела:
Неравенство (1)или(1а) определяет так называемую – окрестность бесконечности.
.
Если функция имеет предел на бесконечности равное , то график функции имеет горизонтальную асимптоту.
Определение предела функции на бесконечности на языке окрестностей.
Постоянное число называется пределом функции при , если для любой – окрестности точки на оси существует – окрестность бесконечности на оси такая, что как только аргумент попадает в – окрестность бесконечности, так сейчас же функция попадает в – окрестность точки .
ПРИМЕР:
График имеет асимптоту горизонтальную .
Общее определение предела на бесконечность сохран., но дополняет указанный знак бесконечности. Все теоремы о пределах для всех модификаций определения предела сохраняются.
Параграф 13: замечательные пределы.
I.
Функция – четная, поэтому можно ограничится только положительными значениями и т. к. , то можно ограничится значениями в первой четверти, т. е. . Рассмотрим площади трех фигур:
.
.
– радианная мера угла.
Т. к. фигуры вложены друг в друга, то их площади связаны неравенством:
Из неравенства (2) вытекает, что при ,как меньшая величина, тоже стремиться к нулю. Из формулы (*) следует, что при .По теореме о сжатой переменной и по формуле (3) заключаем, что при .
.
ПРИМЕРЫ:
1.
2.
Формула (4) записана иначе:
II.Второй замечательный предел.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
Переменная называется возрастающей в узком смысле (строго возрастает), если при следует .
Переменная называется строго убывающей, если при следует .
Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .
Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .
Все перечисленные переменные называются монотонными переменными. Они могут быть строго монотонными и не строго монотонными.
ТЕОРЕМА:
Если переменная возрастает в узком или широком смысле и ограничена с верху (означает, что её значения ограничены с верху), то она имеет конечный предел.
Если переменная убывает в узком или широком смысле и ограничена снизу (её значения ограничены снизу), то она имеет конечный предел.
Можно доказать, что переменная строго возрастает и ограничена сверху числом 3. По теореме о существовании предела и ограниченной монотонной переменной можно утверждать, что рассматриваемая переменная имеет предел:
В дальнейшем будет выведена формула, позволяющая вычислить этот предел с любой степенью точности
Число лежит в основании так называемых натуральных логарифмов.
– модуль перехода.
С числом связано несколько функций, рассмотренных в математике.
Гиперболические функции:
1. – синус гиперболический.
2. – косинус гиперболический.
3. – тангенс гиперболический.
4. – котангенс гиперболический.
–1
Свойство этих функций:
– нечетные функции,
– четная функция.
– имеют горизонтальные асимптоты на«+»и на« – » бесконечности.
– имеет вертикальную асимптоту.