- •Глава 1:введение в анализ.
- •U – высказывание.
- •Параграф 5: последовательность. Точка. Предел последовательности.
- •Параграф 6: предел последовательности.
- •Параграф 7: бесконечно малые величины.
- •Параграф 8: бесконечно большие величины.
- •Леммы о бесконечно больших.
- •Параграф 9: теоремы о пределах.
- •Параграф 10:предел функции
- •Параграф 11: одностороние пределыслева и справа точки .
- •Параграф 12: предел функции на бесконечности.
- •Определение предела функции на бесконечности на языке окрестностей.
- •Параграф 13: замечательные пределы.
- •Формулы гиперболической тригонометрии.
- •Параграф 14: взаимные пределы, основанные на втором замечательном пределе.
- •Параграф 15: сравнение бесконечно маленьких.
Параграф 8: бесконечно большие величины.
Опр. 1: Переменная , называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа существует такой номер , что если
Неравенство (1) равносильно объединению 2-х неравенств: (где– «или»)
по другому:
Опр. 2: Объединения 2-х промежутков , называются -окрестность бесконечности.
Бесконечно большие величины при своём изменении начиная с некоторого номера попадает в окрестность бесконечности и там далее остаётся.
Пример: , если
1)
2)
-2, 4, -8, 16, -32, …
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
Будем различать положительные и отрицательные бесконечно большие величины
– положительные б.б.
– отрицательные б.б.
Леммы о бесконечно больших.
ЛЕММА №1:
Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая величина, и обратно…
Доказательство:
Пусть ,
Это значит, что для любого сколь угодно большого числа существуетNтакой, что при следует выполнение неравенства:
ЛЕММА №2:
Произведение бесконечно большой величины на переменную, стремящуюся к конечному пределу отличного от нуля, есть бесконечно большая величина.
Параграф 9: теоремы о пределах.
ТЕОРЕМА №1:(о единственности предела).
Если переменная имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство:
От противного: Предположим, что имеет различных пределов.
По лемме №1 о б.м. имеют места 2 равенства:
Вычтем почленно из одного неравенства другое:
Это равенство противоречиво, т.к. с лева постоянное число неравное нулю, а справа, стремящаяся к нулю. Постоянное число не может стремиться к нулю. Противоречие доказывает теорему.
ТЕОРЕМА №2:(о предельном переходе в неравенстве.).
Пусть при всех nвыполняется неравенство
,и переменные иимеют пределы:
;
Тогда:, т. е. .
Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.
Доказательство:(от противного)
Предположим, что
Выделим вокруг точек истоль малыеE – окрестности, чтобы они не пересекались.
По определению предела, начиная с некоторого номера n,переменные и попадут в своиE – окрестности предельных точек.
Это означает, что, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.
Замечание:
Если при всех nвыполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.
ПРИМЕР:
ТЕОРЕМА №3:(о стабилизации знака неравенства.).
Пусть предел и , тогда, начиная с некоторого номераn, переменная .
Доказательство:
Выберем столь малую E – окрестность точки , чтобы она целиком располагалась правее.По определению предела, начиная с некоторого номераn, переменная попадает вE – окрестность точки .Но это и означает, что для этихn:
Замечание:
Аналогично доказывается теорема о том, что если и , то, начиная с некоторого номераn, выполняется неравенство: .
ТЕОРЕМА №4:(арифметические операции над переменными, имеющими предел).
Пусть существуют пределы: и , тогда существуют пределы переменных:
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Доказательство:
Доказываем второй случай, остальные доказываются аналогично.
2 случай:
,
.
По Лемме №1 о бесконечно малых выполняется:
– сумма трех переменных.
Переменная представилась в виде суммы: постоянной и бесконечно малой , это и означает, что постоянная и есть предел этой переменной.
, ч. т. д.
Эта теорема представляет другие возможности вычисления предела:
ТЕОРЕМА №5:(об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).
Пусть переменная имеет конечный предел , тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всехn имеет место неравенство , где и – некоторые постоянные числа.
Доказательство:
Возьмем производную , по определению предела существует такой номер ,что при следует выполнение неравенства:
Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*)лишь конечное число:
Рассмотрим множество чисел: выберем из них самое большое и обозначим , тогда при всех выполняется: , ч. т. д.
ТЕОРЕМА №6:(о сжатой переменной).
Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.
Доказательство:
Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:
и
В силу неравенств (*)выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):
Это и означает, что переменная имеет пределом .
, ч. т. д.