U – высказывание.
Ū– противоположное высказывание.
ПАРАГРАФ 3:ФУНКЦИЯ
Опр. 1:Переменная величина
называется функцией аргумента
,
если каждому рассматриваему значению
из некоторого множества
соответствует определённое значение
из множества
.
–область
определения функции.
–область
значения функции.
Способы задания функции:
Аналитический способ. (Т. е. По формуле.)
Табличный.
Графический.
Программа (алгоритм).
Все способы могут использоваться совместно.
Классификация функций
Явные и неявные функции.
А) Функция
называетсянеявной, если она задана
уравнением
,
не решенным относительно
.
В) Функция
называетсяявной, если она задана
уравнением
решенным
относительно
.
Периодическая функция, если существует число
называемое периодом, обладает
свойством:
Функции делятся на АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ и ТРАНСЦИНДЕНТНЫЕ
Алгебраическая функция – когда она
задана уравнением
,
где с лева стоит многочлен с переменными
и
(неявная а. ф.).
Функция называется явной алгебраической, если для получения её значения над аргументом производится конечное число арифметических действия и действий извлекания корня натуральной степени.
ПРИМЕР:
Все остальные функции относятся к трансцендентным – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные, степенные с иррациональным показателем.
Опр. 2:Функция называется четной,
если при
,
то на
и выполняется:
,
.
.
.
Г
рафик
четной функции симметриченOY
Опр. 3:Функция называется нечетной,
если при
,
то на
и
выполняется:
График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Опр. 4: Две точки называются симметричными относительно начала, если они лежат на одной прямой, проходящей через начало, по разные стороны от начала и на одинаковом расстоянии от начала.
Существуют такие функции которые не являются ни чётными ни нечётными.
Функции делятся на элементарные и неэлементарные.
Основные элементарные функции:
1
.
2. Степенная:
Для отрицательных значений
и для
значения некоторой функции отрицательны,
а некоторой нет.
,D (f) = [0;+∞].
,
D (f) = [0;+∞].
,D(f) =R\ (0) (вся ось, кроме нуля).
,
D (f) = R.
Показательная:
,
,
.
4. Логарифмические:
,
,
.
Т
ригонометрические
-1
О
братные
тригонометрические.
y
= arccos x,
y
= arcctg x,
y = arcsin x,
y = arcctg x.
Определение сложной функции. y = f(x)
X – область определения функции.
Y –область значения функции.
Z=(y) –отображаются в области Z.
Z=[f(x)] – сложная функция, иначе композиция.
Сложная функция состоит из цепочки двух простых.
Опр. 5: Элементарной функцией называется функция, состоящая из основных элементарных функций с помощью какого-либо числа арифметических операций и конечного числа образующих операций функции от функции.
Кроме того, требуется, чтобы эта функция была задана одним аналитическим выражением.
Неэлементарные функции – операции интегрирования, операции решения дифференциального уравнения, операции суммирования с бесконечным числом слагаемых и операции обратной функции с помощью нескольких аналитических изображений.
ПАРАГРАФ 4: ЛЕММЫ О ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЛАХ.
Модуль X есть расстояние точки Xдо начала.
Из формулы (1) следует:
ЛЕММА №1:
Неравенство
равносильно:
Д
оказательство:
Если выполнено (3), то это означает, что точка X находится от начала на расстоянии, не превышающемa, и это означает, что она находится между-aиa, тогда выполнено равенство (4).
Обратно:
Пусть выполнено (4), т. к. X находится между-aиa, то тогда её расстояние до начала|X| не превышаетa,следовательно выполнено неравенство (3), ч.т.д.
ЛЕММА №2:
Модуль суммы конечного числа не превосходит суммы их модулей.
используем (2):
по лемме (1) это двойное неравенство равносильно одному неравенству с модулем:
ЛЕММА №3:
Модуль разности двух чисел не меньше разности их модулей.
Доказательство:
X – Y = Z, тогдаX = Y + Z.
Замечание:
Можно доказать более сложное неравенство:
ЛЕММА №4:
Из определения действий умножения, деления вещественных чисел следует соотношение:
