Лекции по матану от множеств до функций / Лекции_1_2
.doc– бесконечно малые.
Этот предел отношения может быть различным в зависимости от быстроты стремления бесконечно малой к нулю.
Определения:
-
Если , то – бесконечно малое высшего порядка, чем (по опр.).
-
Если , то – бесконечно малое низшего порядка, чем .
-
Если , то – бесконечно малые одного порядка малой степени.
-
Если , то – называются эквивалентными бесконечно малыми величинами. Запись: ~ – эквивалентно .
-
Если не существует, то – не сравнимо малые величины.
Примеры:
1. .
2. .
3. и – одного порядка …
4. – бесконечно малое высшего порядка чем .
5. .
, не имеет предела при .
– не сравнимые бесконечно малые величины.
Часто удобно одну из бесконечно малых взять за основную и с ней сравнивать все остальные бесконечно малые
или – часто означают переменные.
Опр. 6 Бесконечно малое , называется низшего порядка по отношению к бесконечно малому , если
.
Пример: ; бесконечно малое – . 1.
– высшего порядка, чем .
Какого же порядка ??? 2. .
– имеет 2-й порядок по отношению к . 3. .
Следовательно бесконечно малое – , имеет 3-й порядок малости по отношению к .
ТЕОРЕМА 1:
Для того чтобы бесконечно малые – и были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бесконечно малой высшего порядка, чем каждая из них в отдельности.
Доказательство:
Необходимость:
Дано:
Требуется доказать:
ч.т.д.
Достаточность:
Дано:
Требуется доказать:
ч.т.д.
1)
2)
ТЕОРЕМА 2:
При вычислении предела отношений или производной бесконечно малого, каждую из них можно заменить эквивалентной.
Пусть: , тогда .
Доказательство:
Рассмотрим , ч.т.д.
Пример:
Таблица эквивалентных бесконечно малых:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Обобщение теоремы 2
Опр. 7: Две функции и , называются эквивалентными при , если
Запись та же самая:
Теорема 2 о эквивалентных бесконечно малых распространяется на случай любых эквивалентных функций.
Формулировка: Если при , то:
С помощью таблицы эквивалентных бесконечно малых раскрываются различные виды неопределенностей:
1.
2.
3.
Опр. 8: Если бесконечно малая имеет более высокий порядок, чем бесконечно малая , то принимается запись: .
Формулы для :
1.
2.
3.
4.
5.
Опр. 8: Если , то бесконечно малая называется главной частью бесконечно малого . Т. к. , поэтому . Каждая из двух этих бесконечно малых является главной частью другой.
Если выполняется то – главная часть .
Таблица эквивалентных бесконечно малых может быть записана в другой форме с использованием символа порядка.
Формула типа называется асимптот. формулой.
Таблица асимптот. Формул:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Тезисы:
-
Аналогично сравнению бесконечно малых происходит сравнение бесконечно больших.
-
Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малому наинизшего порядка.
– бесконечно малая величина.
Следовательно: .
-
Сумма бесконечно больших эквивалентна бесконечно большому наивысшего порядка роста.
– бесконечно большая величина.
Типовые задачи по вычислению пределов.
-
При вычислении предела отношения и производной бесконечно малой следует пользоваться таблицей бесконечно малых. Каждую бесконечно малую заменяем более простой эквивалентной бесконечно малой…
-
При вычислении предела с бесконечно малой, в которой встречаются сумма и разность, следует пользоваться таблицей асимптотических формул.
-
При раскрытии неопределённости показателя всегда следует прологарифмировать показательное выражение.
-
ГЛАВА 2: __________________________________________.
ПАРАГРАФ 1: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
Понятие о непрерывности функции описывает непрерывные процессы в округе… Непрерывные функции описывают непрерывные процессы.
Будем обозначать: – приращение аргумента.
– приращение функции.
Опр. 1: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции
Под окрестностью точки понимают любую – окрестность этой точки.
Запишем на языке – окрестностей, используя определение предела функции.
Опр. 2: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и по любому можно указать , то при выполнении: следует:
Запишем формулу ещё в другом виде:
позволяет сформулировать следующее определение, равносильное предыдущему.
Опр. 3: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и предел функции равен функции предельного значения аргумента.
Для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами. Запишем уравнение , употребляя пределы с лева и с права. Заметим, что если существует двусторонний предел, то существует оба односторонних предела и они равны между собой, поэтому может быть записана в следующей эквивалентной форме:
Опр. 4:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , существуют конечные пределы с лева и с права и выполняется равенство: .
Пределы с лева и справа равны между собой и равны значению функции в точке.
Опр. 5: Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
ПАРАГРАФ 2: ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ.
Опр. 1: Точка называется точкой разрыва функции , если нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции; используем опр. 4:
Нарушение: – Условие:
1.
Функция определена в точках, где обращается в ноль.
Эта функция разрывна во всех точках области определения функции, т. к. эти точки изолированы без окрестности.
2. Если пределы с лева и с права не являются конечными