2.4. Концентрація надлишкових носіїв заряду в опз. Поверхнева провідність

Як зазначалось раніше (п.2.2), концентрації носіїв заряду в ОПЗ не збігаються з відповідними значеннями в об’ємі кристала (n  n₀, p  p₀). Тому електричні властивості в приповерхневій області та в об’ємі кристала відрізняються. Для характеристики електричних властивостей приповерхневої ОПЗ використовують поняття приповерхневої концентрації надлишкових носіїв заряду, яку позначають через Г_n та Г_p для електронів і дірок відповідно. Величини Г_n та Г_p визначаються різницею між повним числом електронів (дірок) у зразку одиничної площі поверхні товщиною d з даним вигином зон Y_s та аналогічною кількістю носіїв заряду при плоских зонах, коли Y_s = 0.

Величину провідності приповерхневого шару, називають поверхневою провідністю і позначають через _s. Отже, поверхнева провідність визначається як різниця провідностей напівпровідникового зразка товщиною d та одиничною площею поверхні (1см²) при даному значенні вигину зон Y_s та при плоских зонах. Розмірність питомої поверхневої провідності Ом ^{– 1}. Величину поверхневої провідності можна записати так:

(2.46)

де _ps, _ns – рухливості електронів і дірок у приповерхневій області відповідно.

Приповерхневі надлишкові концентрації носіїв заряду визначаються виразами:

(2.47)

(2.48)

Тут через n* i p* позначено такі величини:

. (2.49)

Величини N та P визначаються виразами (2.25). Межі інтегрування в (2.47) та (2.48) можна поширювати до нескінченності, оскільки підінтегральні вирази дорівнюють нулеві за межами ОПЗ.

Для розрахунку величини Г_p підставимо в (2.47) значення р та p*, використовуючи вирази (2.13), (2.49), (2.11) та (2.25):

. (2.50)

При інтегруванні рівняння Пуассона (п.2.2.2) зроблено припущення, що при невеликих відхиленнях від термодинамічної рівноваги величини _n та _p можна вважати сталими в межах ОПЗ. Тоді, використовуючи назване припущення, другий доданок у (2.50) можна вважати сталим і, як сталий множник, винести його за знак інтеграла

. (2.51)

Ураховуючи (2.24) та (2.25), експоненційний множник перед знаком інтеграла в (2.51) можна записати в такому вигляді:

(2.52)

Підставимо (2.52) в (2.51) та врахуємо (2.2)

(2.53)

Перейдемо від інтегрування по х до інтегрування по Y. При цьому врахуємо, що dx = (dY/dx)^-1dY, а також, що згідно з (2.26) dY/dx дорівнює

.

Тоді вираз (2.53) набуває вигляду

(2.54)

Аналогічним способом одержується вираз для надлишкової концентрації електронів

(2.55)

Зауваження. Зміна знака “ + ” на “ — “ у (2.54) та (2.55) пов’язана зі зміною меж інтегрування від Y_s до 0 на 0… Y_s .

Підставимо отримані значення Г_n та Г_p в (2.46) та обмежимося рівноважним випадком, коли Ф_n = Ф_p = Ф₀ i Р = N= 0. Тоді, увівши позначення _ns / _ps = b, вираз (2.46) набуває вигляду

. (2.56)

Функція g_s(Y_s) називається інтегралом поверхневої провідності і дорівнює:

(2.57)

Значення g_s(Y_s), а також залежності Г_p(Y_s) i Г_n(Y_s) для різних значень  обчислені для германію, кремнію й інших напівпровідників і подаються у вигляді графіків і таблиць.

Рис. 2.5. Залежність інтеграла поверхневої провідності g_s від величини вигину зон на поверхні Y_s для напівпровідника n-типу при різних значеннях параметра 

Обчислені залежності g_s(Y_s) для напівпровідника n–типу при різних значеннях параметра наведені на рис. 2.5. У загальному випадку криві g_s(Y_s) і відповідно _sхарактеризуються наявністю мінімуму, розташованого в області від’ємних значень Y_s, що можна пояснити так. У приповерхневому шарі напівпровідника n-типу при великих додатних значеннях Y_s є велика кількість надлишкових електронів у зоні провідності і тому значення g_s і відповідно _s будуть великими (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Залежність поверхневої провідності при 300 К від вигину зон на поверхні Y_s для напівпровідника n-типу

Зменшення величини Y_s призводить до зменшення _s спочатку швидко (за експоненційним законом, ), а потім повільніше. При Y_s=0 концентрація електронів у приповерхневій області дорівнює концентрації електронів в об’ємі кристала (Г_n = 0, n = n₀) і тому g_s = 0 (відповідно _s = 0). При Y_s < 0 збільшення Y_s призводить до зменшення концентрації електронів в ОПЗ, внаслідок цього величина g_s продовжує зменшуватися. При деякому від’ємному значенні Y_s у приповерхневій області кристала утворюється інверсний шар (шар р-типу), товщина якого збільшується зі збільшенням від’ємних значень величини Y_s. Значенню Y_s, при якому починається утворення інверсного шару, відповідає мінімум на кривій _s(Y_s). Подальше збільшення _s при збільшенні від’ємних значень Y_s зумовлено збільшенням концентрації дірок в інверсному шарі ОПЗ ( ).

При деякому значенні Y_s провідність досягає значення, яке дорівнює провідності зразка з плоскими зонами (_s = 0). При подальшому збільшенні Y_s величина _s знову стає додатною (_s > 0), але провідність вже діркова.

Аналогічним чином змінюється провідність власного напівпровідника і напівпровідника р-типу (рис. 2.7). Мінімальне значення _s для зразка р-типу досягається при малих додатних значеннях Y_s, а для власного – при від’ємних значеннях Y_s, але менших, ніж у випадку зразка n-типу.

Рис. 2.7. Залежність поверхневої провідності від вигину зон на поверхні Y_s для напівпровідників з різним типом провідності при 300 К: 1 – n-тип, 2 – власна провідність, 3 – р-тип

Розташування мінімуму кривих g_s(Y_s) залежить від величини . Для напівпровідника n-типу ( < 1,  = n_i/n₀, n₀ > n_i) зі зменшенням  мінімум досягається при більших від’ємних значеннях величини Y_s (рис. 2.5). Це зумовлено тим, що зменшення  означає збільшення n₀ і , отже, наближення рівня хімічного потенціалу до дна с-зони. Тому для утворення інверсного шару необхідно великі вигини зон уверх.

У загальному випадку значення , яке відповідає мінімуму поверхневої провідності, визначається з умови dg_s / dY_s = 0. Із (2.57) видно, що

Умова мінімуму кривої g_s(Y_s) записується у вигляді

. (2.58)

Для кристала з монополярною рівноважною провідністю в об’ємі, коли утворення інверсного шару відбувається при |Y_s| >> 1, із (2.58) легко отримати

. (2.59)

Цей вираз дозволяє кількісно проаналізувати залежність від величини . Для кристалів р-типу (  1) мінімум відповідає позитивним Y_s.

Важливо зазначити, що розташування мінімуму кривої _s(Y_s) залежить лише від  і b і, отже, визначається лише об’ємними властивостями (характером і рівнем легування) і температурою напівпровідника. Це дозволяє використовувати точку мінімуму кривих _s(Y_s) як вузлову при накладанні експериментальної та теоретичної кривих _s(Y_s), що використовується для визначення параметрів, які характеризують поверхневі властивості напівпровідника.