Математическая картография.

Земля шарообразна и по форме близка к сферо­иду — фигуре, которую она приняла бы под влиянием только сил взаимного тяготения и центробежной силы вращения вокруг по­лярной оси.

Фигуру Земли можно представить, вообразив поверхность, в каждой точке которой сила тяжести направлена по нормали к ней, т.е. по отвесной линии. Такую поверхность называют уроненной. Слож­ную фигуру нашей планеты, ограниченную уровенной поверхнос­тью, проходящей через точку, закрепленную на высоте среднего уровня моря и являющуюся началом отсчета высот, называют гео­идом. Иначе говоря, геоид представляет фигуру Земли, сглажен­ную до уровня Мирового океана.

При картографировании сложную фигуру геоида заменяют математически более простой — эллипсоидом вращения — геометрическим телом, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси.

В нашей стране в 1940 г. расчет эллипсоида был выполнен вы­дающимся ученым Ф. HL Красовским и его учеником А. А. Изотовым. Эллипсоид Красовского был утверж­ден в СССР для геодезических и картографических работ, его ис­пользуют в России и в настоящее время.

Наиболее известные эллипсоиды:

• Деламбера

• Вальбека

• Эйри

• Эвереста

• Бесселя

• Кларка

• Хейфорда

• Красовского – большая полуось в метрах=6 378 245

• Австралийский

• GRS-67

• WGS-72

• GRS-80

• WGS-84

• ПЗ-90

Различают общеземной эллипсоид, наилучшим образом подходя­щий для решения глобальных картографо-геодезических задач, референц-эллипсоиды, используемые в отдельных регионах и странах.

Эллипсоид вращения характеризуют два параметра: большая экваториальная полуось (а) и полярное сжатие (а). Кроме них в расчетах используются и другие, например малая полярная полу­ось (b) и первый эксцентриситет меридионального эллипса (е).

Положение любой точки на земном эллипсоиде определяется широтой и долготой. Широта (В) — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора; долгота (L) — двугранный угол между плоскостями ме­ридианов данной точки и начального меридиана.

Сетка меридианов и параллелей на земном эллипсоиде, шаре или на глобусе называется географической сеткой.

Наиболее важными радиусами эллипсоида вращения являются:

М— радиус кривизны меридиана;

N — радиус кривизны первого вертикала (линии, получаемой сечением эллипсоида плоскостью, проходящей через нор­маль в данной точке и перпендикулярно плоскости мери­диана);

R — средний из радиусов всевозможных сечений, проведен­ных через нормаль в данной точке эллипсоида;

r — радиус параллели.

При замене эллипсоида шаром нужно выбрать подходящий ра­диус шара и перейти от широт (В) и долгот (L) эллипсоида к широ­там (φ) и долготам (λ) на шаре. Нормали к поверхности шара совпа­дают с его радиусами. Поэтому сферические широта и долгота опре­деляются следующим образом: широта (φ) равна центральному углу между радиусом шара, направленным на заданную точку, и плоско­стью экватора; долгота (λ) определяется двугранным углом между плоскостями меридиана данной точки и начального меридиана.

При равноугольном отображении углы с эллипсоида пе­реносятся на шар без искажений, а формы контуров бесконечно малых размеров сохраняются, радиус шара приравнивается к боль­шой полуоси эллипсоида.

При равновеликом отображении эллипсоида на шар пло­щади передаются без искажений, радиус шара вычисляется при условии равенства площадей поверхностей шара и эллипсоида.

При равно промежуточном проектировании эллипсоида на шар длины меридианов на шаре остаются равными их длинам на эллипсоиде.

Общеземную координатную систему используют для картогра­фирования и решения глобальных задач, таких как изучение фигу­ры, внешнего гравитационного поля, их изменений во времени, движения полюсов, неравномерности вращения Земли, управле­ния полетами космических аппаратов в гравитационном поле Земли и др. С этой целью создают модель планеты — эллипсоид, имею­щий размеры, массу, угловую скорость вращения и другие.

В таком эллипсоиде устанавливают пространственные прямоугольные координаты X, Y, Z с началом в центре эллипсоида. Ось Z направлена по оси вращения, а ось X лежит на пересечении плоскости начального меридиана с плоскостью экватора и с осью образует правую систему. Для ориентирования координатной системы в теле Земли на­чало эллипсоида помещают в центр масс Земли, начальный мери­диан совмещают с меридианом Гринвича, а ось вращения направляют на северный условный земной полюс, соответствующий неко­торому фиксированному среднему его положению. Это обусловле­но тем, что ось вращения Земли со временем перемещается в теле Земли и относительно звезд. Такой условный земной полюс назы­вают Международным условным началом. Тем самым устанавлива­ется геоцентрическая гринвичская координатная система.

Практически для закрепления геоцентрической гринвичской ко­ординатной системы создается геодезическая сеть — совокуп­ность геодезических пунктов, положение которых определено по результатам измерений в единой для них системе координат. Каждый пункт, закрепленный на местности или на космичес­ком аппарате, имеет координаты X, Y, Z. Их можно пересчитать в широты (В), долготы (L), определяющие положение пункта на эллипсоиде, и высоту (Н) над ним. Эллипсоид можно отобразить в некоторой проекции в плоскости карты и определить для пунк­тов плоские прямоугольные координаты х, у.

Геодезические сети — это наиболее надежный и совершенный способ практического закрепления координатной системы. Измере­ния на пунктах сети выполняют с наибольшей тщательностью, мно­гократно повторяют и подвергают строгой математической обработ­ке.

Известно несколько общеземных координатных систем. Они опираются на одинаковые теоретические положения, а различия обусловлены, главным образом, геодинамическими процессами, небольшими расхождениями фундаментальных параметров, по­грешностями измерений, неравномерностью размещения геоде­зических пунктов и особенностями их математической обработки. Международная служба вращения Земли IERS (International Earth Rotation Service) на основе высокоточных измерений формирует общеземную координатную систему ITRS (International Terrestrial Reference System) и использует эллипсоид GRS-80.

В связи с широким применением во всем мире американской спутниковой системы позиционирования получила распростране­ние Мировая геодезическая система 1984 г.— WGS-84 (World Geodetic System, 1984).

С 1993 г. в мире действует сеть станций Международной геоди­намической службы IGS (International Geodynamics GPS Service), сбли­жающих координатные системы WGS-84 и ITRS.

Референцные системы координат устанавливают в отдельных регионах или государствах с помощью референц-эллипсоидов, наи­лучшим образом соответствующих данному региону. Это не только дань традиции, но потребность иметь наиболее удобный для дан­ной территории эллипсоид, когда уклонения отвесных линий от нормалей к нему минимальны.

Референц-эллипсоид ориентируют в теле Зем­ли при помощи исходных геодезических дат, т.е. параметров, кото­рые устанавливают значения широт, долгот и их взаимосвязь с астрономическими координатами в некотором исходном пункте.

В России без интеграции с западными странами создана обще­земная координатная система ПЗ-90 (Параметры Земли, 1990 г.). Она закреплена пунктами космической геодезической сети, часть которых расположена в Антарктиде.

Масштаб карты — степень уменьшения объектов на карте отно­сительно их размеров на земной поверхности (точнее — на по­верхности эллипсоида).

Строго говоря, масштаб постоянен только на планах, охваты­вающих небольшие участки территории. На географических картах он меняется от места к месту и даже в одной точке — по разным направлениям, что связано с переходом от сферической поверх­ности планеты к плоскому изображению. Поэтому различают глав­ный и частный масштабы карт. Главный масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отноше­нию к эллипсоиду или шару. Этот масштаб подписывают на карте, но необходимо иметь в виду, что он справедлив лишь для отдель­ных линий и точек, где искажения отсутствуют. Частный масш­таб отражает соотношения размеров объектов на карте и эллип­соиде (шаре) в данной точке. Он может быть больше или меньше главного. Частный масштаб длин показывает отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине бесконечно мало­го отрезка на поверхности эллипсоида или шара, а частный масштаб площадей передает аналогичные соотношения беско­нечно малых площадей на карте и на эллипсоиде или шаре. В общем случае чем мельче масштаб картографического изоб­ражения и чем обширнее территория, тем сильнее сказываются различия между главным и частным масштабами. Масштабы общегеографических карт: 1:5 000, 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000, 1: 300 000, 1:500 000, 1:1 000 000.

Масштаб указывается на картах в разных вариантах. Численный масштаб представляет собой дробь с единицей в числителе, он показывает, во сколько раз длины на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1:1 000 000). Ли­нейный (графический) масштаб дается на полях карты в виде ли­нейки, разделенной на равные части (обычно сантиметры), с под­писями, означающими соответствующие расстояния на местности. Он удобен для измерений по карте. Именованный масштаб указы­вает в виде подписи, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте (например, «в 1 см 1 км»).

Картографическая проекция — это математически определен­ное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты.

Проекция устанавливает однозначное соответствие между гео­дезическими координатами точек и их прямоугольными координатами на карте. Конкретные реализации функций зависимостей часто выражены до­вольно сложными математическими зависимостями, их число бес­конечно, а следовательно, разнообразие картографических проек­ций практически неограниченно.

Теория картографических проекций составляет главное содер­жание математической картографии. В этом разделе картографии раз­рабатывают методы изыскания новых проекций для разных террито­рий и разных задач, создают приемы и алгоритмы анализа проек­ций, оценки распределения и величин искажений. Особый круг задач связан с учетом этих искажений при измерениях по картам, с пере­ходами из одной проекции в другую и т.п. Компьютерные техноло­гии позволяют рассчитывать проекции с заданными свойствами.

Исходная аксиома при изыскании любых картографических проекций состоит в том, что сферическую поверхность Земного Шара (эллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскости кар­ты без искажений.

Неизбежно возникают деформации — сжатия и растяжения, раз­личные по величине и направлению. Именно поэтому на карте воз­никает непостоянство масштабов длин и площадей. Все картографические проекция имеют искажения. Иногда они очень заметны, например, очертания мате­риков становятся непривычно вытяну­тыми или сплющенными. Некоторые части изображения словно раздуты, другие — деформированы.

В картографических проекциях могут присутствовать следую­щие виды искажений:

• искажения длин — вследствие этого масштаб карты непос­тоянен в разных точках и по разным направлениям, а дли­ны линий и расстояния искажены;

• искажения площадей — масштаб площадей в разных точках карты различен, что является прямым следствием искаже­ний длин и нарушает размеры объектов;

• искажения углов — углы между направлениями на карте ис­кажены относительно тех же углов на местности;

• искажения форм — фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с иска­жениями углов.

Любая бесконечно малая окружность на шаре (эллипсоиде) пред­стает на карте бесконечно малым эллипсом — его называют эллип­сом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров . Его раз­меры и форма отражают искажения длин, площадей и углов, ориентировка большой оси относительно меридиана и паралле­ли — направление наибольшего растяжения. Большая ось эллипса искажений характеризует направление наибольшего растяжения в данной точке, а малая ось — направление наибольшего сжатия, отрезки вдоль меридиана и параллели — соответственно характе­ризуют частные масштабы по меридиану и параллели. Определив величины частных масштабов по меридиану и параллели, а также угол под которым пересекаются на карте меридиан и параллель, можно затем рассчитать значения наибольшего и наименьшего час­тных масштабов длин, частный масштаб площадей в данной точке, а также величину искажения углов.

В ряде проекций существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты, — это линии и точки нулевых искажений. Для наиболее употребительных проек­ций существуют специальные вспомогательные карты, на которых показаны эти линии и точки, а кроме того, проведены изоколы линии равных искажений длин, площадей, углов или форм.