Глава ‌3

Эволюционные уравнения Навье - Стокса

Введение

В этой заключительной главе рассматриваются полные, т.е. эволюционные, нелинейные уравнения Навье - Стокса. Сначала мы изложим несколько основных результатов, касающихся существования и единственности решения, а затем исследуем аппроксимацию этих уравнений с помощью различных методов.

В § 1 мы кратко изучим линейные эволюционные уравнения (эволюционные уравнения Стокса). Этот параграф содержит некоторые технические леммы, используемые при рассмотрении эволюционных уравнений. В § 2 приведены теоремы компактности, дающие возможность получить результаты о сильной сходимости в эволюционном случае и перейти к пределу в нелинейных членах.

В § 3 представлены вариационная формулировка задачи (слабые, или турбулентные, решения в смысле Лерэ [1-3] и Хопфа [2]) и основные результаты о существовании и единственности решения (для двумерного или трехмерного пространства); существование доказывается с помощью построения приближенного решения по методу Галёркина. В § 4 даны дальнейшие результаты о существовании и единственности; здесь доказательство существования проводится с помощью полудискретизации по времени и остается в силе для пространства произвольной размерности.

В последующих параграфах мы исследуем аппроксимацию эволюционных уравнений Навье - Стокса в двух- и трехмерном случаях. Рассматриваются некоторые разностные схемы, отвечающие какой-нибудь классической дискретизации по времени (неявной, Крэнка – Николсона, явной) и какой-нибудь из дискретизаций по пространственным переменным, введенных в гл.1 (конечные разности, конечные элементы). Мы завершаем главу изучением нелинейной устойчивости этих схем, а именно устанавливаем достаточные условия устойчивости и доказываем сходимость всех этих схем при наличии устойчивости.

§ 1. Линейный случай

В этом параграфе мы обобщаем на нестационарный случай ряд результатов о существовании, единственности и гладкости решений линеаризованных уравнений Навье – Стокса. После введения некоторых обозначений, полезных как в линейном, так и нелинейном случаях (п. 1.1), мы приводим классическую и вариационную постановки задач и формулировку основного результата о существовании и единственности решения; доказательства существования и единственности даются затем в

пп. 1.3 и 1.4.

1.1 Обозначения. Пусть открытая липшицева область в ; для простоты мы предполагаем, что она ограничена; относительно случая неограниченной области см. ниже замечания из пункта 1.5. Напомним определения пространств , которые будут основными пространствами и в этой главе:

(1.1)

замыкание в (1.2)

замыкание в (1.3)

Пространство снабжено скалярным произведением , индуцированным из ; пространство является гильбертовым со скалярным произведением

(1.4)

(область ограничена!).

Пространство вложено в и плотно в нем, причем вложение непрерывно. Пусть и обозначают пространства, сопряженные к и , а оператор вложения в . Сопряженный к нему оператор является непрерывным линейным оператором из в , который взаимно-однозначен, так как плотно в ; обратно, плотно в , так как взаимно-однозначен; поэтому может быть отождествлено с некоторым плотным подпространством в . Отождествляя, далее, по теореме Рисса и , мы приходим к включениям

(1.5)

где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны.

В силу указанных отождествлений, скалярное произведение в элементов и совпадает со значением функционала на элементе в смысле двойственности между и :

(1.6)

Для каждого из форма

(1.7)

линейна и непрерывна на ; следовательно, существует элемент из , который мы обозначим через , такой, что

(1.8)

Легко видеть, что отображение линейно и непрерывно; в силу теоремы 1.2.2, оно является изоморфизмом на .

Если область неограниченна, то пространство наделяется скалярным произведением

(1.9)

при этом отношения включения (1.5) сохраняют силу. Оператор

по-прежнему непрерывный линейный оператор из в , но уже, вообще говоря, не изоморфизм; однако для каждого оператор есть изоморфизм на .

Пусть два числа на расширенной вещественной оси, и некоторое банахово пространство. Для данного

пусть обозначает пространство функций (функций, интегрируемых в степени ) из в , которое является банаховым с нормой

(1.10)

Пространство это пространство существенно-ограниченных функций из в ; оно является банаховым с нормой

(1.11)

Пространство это пространство непрерывных функций из в , если , то оно является банаховым с нормой

(1.12)

Наиболее часто в качестве интервала будет использоваться интервал , где фиксировано; если это не может привести к недоразумению, мы будем использовать сокращенные обозначения

(1.13)

(1.14)

Остальная часть этого пункта посвящена доказательству следующей технической леммы, касающейся производных от функций со значениями в банаховом пространстве:

Лемма 1.1 Пусть банахово пространство с сопряженным , и пусть и функции, принадлежащие . Тогда следующие три условия эквивалентны:

(i) п.в. равна первообразной от :

для п.в. (1.15)

(ii) для каждой пробной функции

(1.16)

(iii) для каждого

(1.17)

в смысле скалярных распределений на .

Если условия (i) - (iii) выполнены, то , в частности, п.в. равна некоторой непрерывной функции из в .

Доказательство. В качестве интервала возьмем для простоты интервал . Законное здесь интегрирование по частям показывает, что из (i) следуют (ii) и (iii); остается проверить, что из (iii) следует (ii), а из (ii) следует (i). Если выполнено (iii) и , то по определению

(1.18)

или

так что имеет место (1.16). Докажем теперь, что из (ii) вытекает (i).

Мы можем свести общий случай к случаю . Для того, чтобы убедиться в этом, положим , где

(1.19)

ясно, что абсолютно непрерывная функция и что ; следовательно, (1.16) выполняется с , замененным на , и

(1.20)

Доказательство свойства (i) будет завершено, если мы покажем, что из (1.20) вытекает, что не зависит от . Пусть некоторая функция из , такая, что . Любая функция из может быть записана в виде

(1.21)

в самом деле, та как то первообразная от обращающаяся в при , принадлежит , и в точности совпадает с этой первообразной. Согласно (1.20) и (1.21),

(1.21а)

где .

Чтобы завершить доказательство, остается показать, что из (1.21а) следует, что п.в., т.е. что функция , принадлежащая и такая, что

(1.22)

равна нулю почти всюду. Этот хорошо известный факт доказывается с помощью регуляризации: если функция, равная на и нулю вне этого интервала, и какая-нибудь гладкая регуляризующая функция, то для достаточно малых свертка принадлежит и

.

Следовательно, для любого фиксированного свертка равна на интервале для достаточно малых ; когда , сходится к в . Таким образом, равно нулю на , а так как произвольно мало, то равно нулю на всем интервале .