Раздел 6. Теория оптимального управления

1. Общая задача оптимального управления и её математическая модель. Целевой функционал. Принципиальная схема управления. Виды управления. Обобщенная теорема Вейерштрасса.

2. Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа.

3. Задача нелинейного программирования. Условия Куна — Таккера.

4. Линейное программирование

5. Математическая модель задачи оптимального выбора благ потребителем. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем.

6. Математическая модель задачи минимизации издержек производства. Задача максимизации объема выпуска продукции.

7. Вариационное исчисление. Постановка задачи. Уравнение Эйлера.

8. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.

9. Принцип максимума. Сопряженные переменные. Функция Гамильтона.

10. Модель оптимального экономического роста.

Раздел 7. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций

1. Определение понятия “риск”. Источники и характер неопределённости, их иерархия. Методы управления экономическими рисками и их классификация. Риски, сопутствующие хозяйственной деятельности производственных предприятий: источники, факторы, способы снижения.

2. Правила стохастического доминирования. Сравнение рисковых альтернатив в системе "среднее-риск". Меры риска, основанные на принципе замещения, свёртки. Односторонние меры риска, нижние частные моменты.

3. Меры риска, основанные на вероятностях и квантилях (VaR_a, параметрический VaR_a). Меры риска, основанные на условных математических ожиданиях (Expected Shortfall), параметрический ES. Свойства ES_a и VaR_a, обобщение на случай дискретных с.в.

4. Методы расчёта и моделирования VaR (RiskMetrics^TM) и ES портфелей, состоящих из рисковых активов. Типовые сценарии. Моделирование случайных величин с заранее заданными характеристиками.

5. Петербургский парадокс, решение Д. Бернулли. Аксиоматика теории полезности, ординальная и кардинальная функции полезности. Теорема фон Неймана-Моргенштерна.

6. Основные классы функций полезности. Детерминированный эквивалент и премия за риск Марковица ("в большом"). Премия за риск Эрроу-Пратта ("в малом"). Примеры функции полезности.

7. Статистические (байесовские) процедуры принятия рисковых решений. Байесовская оценка неизвестного параметра при различных функциях потерь. Примеры нахождения байесовского решения в задаче управления запасами. Сравнение байесовского и минимаксного подходов.

8. 8 Фактор времени и проблема управления рисками в бизнес-планировании и инвестиционном проектировании. Четыре метода оценки эффективности инвестиционных проектов с учётом факторов неопределённости.

9. Риски, присущие деятельности кредитных организаций (классификация GARP). Рейтинги надёжности банков, матрица миграции рейтингов. Скоринг как инструмент оценки рисков. Банковский надзор и система обязательных нормативов.

10. Дюрация Маколея Использование дюрации в качестве инструмента хеджирования процентных рисков. Правила хеджирования и задача иммунизации портфеля.

11. Диверсификация и хеджирование рисков. Графо-аналитическое исследование портфеля, состоящего из двух рисковых активов, устранимый и неустранимый риск портфеля. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля, аналитическое решение для портфелей Г. Марковица и Дж. Тобина. Линия рынка капитала (CML).

12. Снижение рисков с помощью производных финансовых инструментов (дериватов). Европейские опционы «пут» и «колл», теорема паритета опционов. Дельта-хеджирование.