называемую числом Эйлера.

Таким образом, когда на жидкость действуют только силы трения, динамическое подобие будет иметь место, если существует геометрическое и кинематическое подобие и если число Эйлера, вычисленное для любой точки модели, оказывается равным числу Эйлера, вычисленному для сходственной точки натуры:

Критерии подобия. Как видно, для достижения динамического подобия между моделью и натурой каждая система сил, действующих на жидкость, требует равенства в сходственных точках модели и натуры некоторого своего числа (числу Фруда, числа Рейнольдса и т. д.).

Эти безразмерные числа (Фруда, Рейнольдса, Эйлера, Вебера, Коши и т. д.), равенство которых в сходственных точках модели и натуры указывает на наличие подобая между моделью и натурой, называются критериями подобия.

В общем случае, когда на жидкость одновременно действует несколько разных систем сил то для получения динамического подобия между моделью и натурой надо требовать одновременного соблюдения равенства соответствующих критериев подобия в сходственных живых сечениях.

Если, например, при постановке гидравлических опытов необходимо учитывать как силы тяжести, так и силы трения, то для достижения динамического подобия между моделью и натурой следует, помимо кинематического и геометрического подобий, одновременно выдержать еще два условия:

(Fr)м = (Fr)н;

(Re)м = (Re)н,

причем эти условия должны относиться ко всем сходственным живым сечениям модели и натуры.

2.3.3.Пи – теорема

Вразличных областях физики имеются величины, являющиеся независимыми. Величины относят к зависимым, если размерность одной из них может быть представлена как комбинация остальных. Примером зависимых величин

являются, например, скорость, длина и ускорение, так как размерность ускорения может быть выражена с помощью скорости и длины (V2/L).

Вмеханике имеются три независимые величины. Так, для СИ независимыми являются длина L (метр), время Т (секунда) и масса М (килограмм).

Остальные величины являются производными, выражающимися через независимые в виде степенного одночлена МxLyTz, где х, у, z — алгебраические числа.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

39

Пусть из каких-либо соображений или опытных исследований получена физическая зависимость в виде

а = f(а1,а2,…,аk,…, an)

где а1,а2,…,аk,…, an — численные, зависящие от единиц измерения значения некоторых функций, первые k из которых независимы. Примем их за характерные размеры. Если структура функции f выражает собой закон, не зависящий от выбора системы единиц измерения, то ее можно привести к виду

π = f(1,1,1,…,π1, π2, …, πn-k) (2.71)

Этот результат, именуемый π-теоремой, утверждает (доказательство опускаем), что функциональная связь между n + 1 размерными величинами а1,а2,…,аk,…, an, независимая от выбора системы единиц измерения, имеет вид соотношения между n + 1 - k безразмерными комбинациями из n + 1 безразмерной величины. Число единиц (1,1, ...) в (2.71) равно k.

В качестве второго примера применения π-теоремы приведем формулу Дарси (9.1) потерь напора в трубах, приняв сопротивления, приходящиеся на единицу длины трубы, в виде p/L=γhпот/L=ρgI.

Теоретические и опытные данные подсказывают для этой формулы следующий вид:

где V - средняя скорость жидкости в сечении трубы; L — длина трубы; ∆ — шероховатость стенок; ρ — плотность; μ — вязкость жидкости; I гидравлический уклон.

Здесь n = 5, k = 3; значит, безразмерных комплексов будет 5 + 1 — 3 = 3.

Условиями безразмерности будут:

для π

x + y −3z = −2, y = 2, z =1;

для π1

x1 + y1 −3z1 = −1, y1 =1, z1 =1;

для π2

x2 + y2 −3z2 =1, y2 = 0, z2 = 0;

Решая совместно эти три системы уравнений, находим:

x =1, y = 2, x1 = x2 = y1 = z = z1 =1, y2 = z2 = 0

Отсюда получаем

или формулу Дарси