7. Консервативное звено

, , , _; ,

8. Запаздывающее звено

4. Частотные методы оценки устойчивости систем

Частотные критерии оценки устойчивости являются графоаналитическими, они основаны на анализе частотных характеристик. Разработаны две разновидности частотных критериев устойчивости: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Критерий Михайлова.

Для построения годографа Михайлова , необходимо представить его в виде суммы вещественной и мнимой частей:

.

Порядок построения годографа Михайлова:

1. Задаем значения ω₀ вычисляем и откладываем отрезки и

2. Далее задаем ω_i и строим и .

3. Совокупность полученных точек соединяем плавной кривой.

К ритерий Михайлова: система автоматического управления устойчива, если годограф начинаясь при на вещественной положительной полуоси, последовательно обходит n квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки.

Признаки неустойчивости систем:

• начало годографа в начале координат или на отрицательной вещественной полуоси;

• прохождение годографа через начало координат;

• нарушение последовательности обхода квадрантов;

• нарушение числа обойденных квадрантов;

• нарушение направления обхода квадрантов.

Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по характеру изменения амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.

Комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы:

, m≤n.

Обозначим числитель B(jω), а знаменатель A(jω):

.Введем некоторую функцию: . Отсюда , где . Так как m≤n, то степень полинома D(jω) одинакова со степенью А(jω) и равна n.

Комплексный коэффициент передачи замкнутой системы: , поэтому - характеристический многочлен замкнутой системы.

Если характеристический многочлен разомкнутой системы A(jω)=0 имеет l правых и n-l левых корней, а =0 имеет k правых и n-k левых корней, тогда изменение угла поворота вектора Ф(jω) будет:

,

Откуда:

.

Изменение угла поворота вектора Ф(jω) вокруг начала координат будет совпадать с изменением угла поворота вектора W_р(jω) относительно точки (-1; j 0). Для обеспечения устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы число правых корней в ней к=0. Следовательно, угол поворота вектора W_р(jω) будет .

Критерий Найквиста для случая, когда разомкнутая система устойчива:

Если разомкнутая система устойчива, т.е. l=0, то . Следовательно, замкнутая система будет устойчива только при условии, когда вектор не охватывает точку (-1; j 0).

Критерий Найквиста для случая, когда разомкнутая система неустойчива:

Пусть разомкнутая система неустойчива и имеет l правых корней. Тогда замкнутая система будет устойчива, если вектор охватывает точку (-1; j 0) l/2 раз

Критерий Найквиста для случая, когда разомкнутая система находится на границе устойчивости:

Разомкнутая система находится на границе устойчивости, когда в ее состав входят v интегрирующих звеньев. Для оценки устойчивости таких систем годограф амплитудно-фазовой характеристики дополняется дугой бесконечно большого радиуса R, охватывающей n квадрантов. Дуга откладывается от ветви годографа в направлении против часовой стрелки. Условием устойчивости является:

• если разомкнутая система не имеет правых корней, то замкнутая система устойчива, если годограф, дополненный дугой бесконечного радиуса, не охватывает точку (-1; j 0).

• если разомкнутая система имеет l правых корней, то замкнутая система устойчива, когда годограф системы охватывает точку (-1;j 0) l/2 раз.