6. Производная

6. 1. Найдите приращение функции в точке с абсциссой , если приращение аргумента .

, ;

6. 2. Найдите приращение функции в произвольной точке, если приращение аргумента .

6. 3. Используя определение производной, найдите производную функции в заданной точке.

6. 4. Используя определение производной, найдите производную функции в произвольной точке.

6. 5. Используя основные правила нахождения производной и таблицу производных, найдите производную функции.

;

; ;

6.6. Найдите производную второго порядка от следующих функций:

; ; ;

7. Приложения производной

7. 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Постройте кривую и касательную к ней.

; ; ;

; ; ;

; , ; ; ; ; .

7. 2. Найдите дифференциал функции.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) .

7. 3. Найдите приближенно значение функции в точке .

1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) , ; 6) , .

7. 4. Вычислите приближенно:

; ; ;

7.5.

_{1) Зависимость между издержками продукции} и объемом выпускаемой продукции x на предприятии выражается функцией Определите предельные издержки при объеме продукции _ед.

_{2) Пусть зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой Определите скорость изменения спроса, если цена на товар составляет 1 ден. ед.; 4 ден.ед.}

_{3) Издержки производства зависят от объема выпускаемой продукции x}

_{и вычисляются по формуле Определите средние и предельные издержки при объеме продукции}

_{4) Определите скорость изменения спроса (предельный спрос) при цене 1 ден.ед.; 3 ден.ед.; 10 ден.ед., если зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой}

5) Зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой _{Определите предельные издержки производства при объеме выпуска продукции x=2; x=9.}

_{6) Объем продукции, произведенной цехом, задается равенством где - рабочее время. Вычислите предельную производительность труда и скорость ее изменения при и}

_{7) Объем сбора чая в КНР с 1978 по 1994 годы может быть описан уравнением где - время (в годах). Определите производительность труда и скорость ее изменения в 1980 и в 1990 годах.}

_{8) Спрос не некоторый товар задан функцией где p – цена единицы товара. На сколько процентов изменится спрос в линейном приближении, если цена, равная 4 ден. единицам увеличится на 1% ?}

_{9) Зависимость спроса Q от цены единицы продукции p задается соотношением Найдите эластичность спроса . При каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным, не эластичным.}

_{10) Известны функции спроса и предложения на некоторый товар и где p – цена товара, Q – его количество. Постройте графики функций спроса и предложения и найдите равновесную цену. Найдите значения коэффициентов эластичности спроса и предложения при равновесной цене.}

_{11) Найдите эластичность выручки от продаж товара при спросе ед., если функция выручки от продаж имеет вид Является функция эластичной в этой точке? Каков экономический смысл полученного результата?}

7. 6. Вычислите пределы, используя правило Лопиталя

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 10) ; 11) ; 12) .

7. 7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

7. 8. Исследуйте функцию на экстремум.

7. 9. Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графиков функций:

;

7.10. Исследуйте функцию у(х) и построить эскиз её графика: