Тема 1.7. Расчет надежности по статистическим данным

Для оценки надежности по статистическим данным необходима большая работа по правильному и объективному сбору этих данных.

Расчет надежности может проводиться либо в процессе испытаний на надежность, либо на основе опыта эксплуатации.

Особенностью оценки надежности по статистическим данным является ограниченность статистического материала, которого недостаточно для точного определения показателей надежности. Приближенное случайное значение показателя называется оценкой показателя.

К оценке ā показателя а предъявляется ряд требований, которым она должна удовлетворять.

Оценка ā должна при увеличении числа опытов приближаться к показателю а. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

Оценка ā не должна иметь систематической ошибки. Систематической ошибкой называют неслучайную ошибку, искажающую результаты измерений в одну определенную сторону.

Например, часы спешат на несколько минут. Измерение времени этими часами систематически (постоянно) дает завышенные результаты.

Математическое ожидание оценки должно быть равно истинному значению параметра а. М[ā] = a. Оценка, удовлетворяющая этому свойству, называется несмещенной .

Выбранная несмещенная оценка должна, по сравнению с другими, иметь наименьшую дисперсию.

.

Оценка, обладающая такими свойствами, называется эффективной.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Точечные оценки вычисляются по формулам:

,

или

,

где n – число опытов.

При малом числе опытов точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, приводить к грубым ошибкам.

При небольшом объеме опытов следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами, концами интервала.

Доверительным называют интервал (ā-ε, ā+ ε), который накрывает неизвестный параметр a с заданной вероятностью β; ± ε – ошибка при замене параметра a оценкой ā.

Доверительной вероятностью называют вероятность того, что некоторый интервал возможных значений ā (доверительный интервал) накроет истинное значение величины a.

Доверительные границы – это границы интервала a₁ =  ā-ε, a₂ = ā+ε.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятия «оценка показателя».

2. Какая оценка называется состоятельной, несмещённой, эффективной, точечной, интервальной?

3. Что такое систематическая ошибка?

4. Что понимается под доверительным интервалом?

5. Дайте определение понятия «доверительная вероятность».

Тема 1.8. Доверительные интервалы при нормальном распределении случайной величины

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса) с математическим ожиданием M и среднеквадратичным отклонением σ. Математическое ожидание M является истинным значением случайной величины Х.

Определим вероятность неравенства:

, (1.62)

где – оценка математического ожидания; β– доверительная вероятность; ε – ошибка от замены M оценкой .

Параметры распределения случайной величины M и σ неизвестны, поэтому решить уравнение (1.62) невозможно.

Поделим обе части неравенства на ,

где – исправленное среднеквадратическое отклонение, определяемое из опытных данных; – статистическая дисперсия; n – число опытов.

Получим:

, (1.63)

или

,

, .

Случайная величина Т подчиняется распределению Стьюдента.

Дифференциальная функция распределения имеет вид:

,

где – гамма-функция.

.

Распределение Стьюдента зависит от числа опытов или, что то же самое, от числа степеней свободы r = n-1.

Распределение Стьюдента позволяет найти решение уравнения (1.62).

Величина t_β, называемая квантилем распределения Стьюдента, определится из условия:

.

Функция S_n-1(t) – четная, поэтому .

Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности β, называют такое значение x = x_p, при котором функция принимает значение, равное β, т. е. P(x_p)=β.

Квантиль t_β находим из таблицы распределения Стьюдента, в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы r = n-1.

Величина ε, равная половине длины доверительного интервала, определится по формуле:

.

Доверительные интервалы для оценок параметров рассчитываются следующим образом:

1. Задаются доверительной вероятностью P(ε) = β. Обычно β = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.

2. Определяется число степеней свободы r = n-1, где n – число опытов или наблюдений.

3. Из таблицы распределения Стьюдента по заданным r и β находят квантиль t_β.

4. Из опытных данных определяется исправленное среднеквадратическое отклонение:

.

где .

5. Половина длины доверительного интервала определяется по формуле:

.

6. Доверительный интервал будет:

.

Контрольные вопросы

1. От чего зависит распределение Стьюдента?

2. Что называется квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности b?

3. Каков алгоритм расчёта доверительных интервалов для оценок параметров?