Тема 1.4. Законы распределения, используемые при оценке надежности

Закон распределения определяется видом аналитических функций, описывающих показатели надежности: P(t), f(t), λ(t). Закон распределения случайной величины выбирается в зависимости от свойств объекта, условий его работы, характера отказов.

Согласно распределению Вейбулла, вероятность безотказной работы определяется по формуле:

, (1.20)

где λ₀ и В – параметры.

Частота отказов:

. (1.21)

Интенсивность отказов:

, (1.22)

Среднее время безотказной работы:

, (1.23)

где – табулированная гамма-функция.

.

Закону Вейбулла хорошо подчиняется распределение отказов в объектах, содержащих большое количество однотипных неремонтируемых элементов (полупроводниковых приборов, микромодулей и т. д.).

Особенностью распределения Вейбулла является то, что с изменением параметра В меняется характер зависимости показателя надежности от времени. При В < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией, при В > 1 – возрастающей.

Данное свойство позволяет соответствующим подбором параметров λ₀ и В обеспечить хорошее совпадение результатов опытных данных с аналитическими выражениями параметров надежности.

Поведение системы на участке приработки хорошо описывается законом распределения Вейбулла с параметром В < 1, а на участке старения – В > 1.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при В = 1.

Интенсивность отказов λ = const.

Вероятность безотказной работы:

. (1.24)

Наработка на отказ:

, (1.25)

, .

Экспоненциальное распределение хорошо описывает поведение системы в период нормальной эксплуатации, когда λ = const.

Это распределение не учитывает износа элементов системы.

Экспоненциальное распределение типично для большинства сложных объектов, содержащих большое количество различных неремонтируемых элементов, имеющих преимущественно внезапные отказы из-за наличия скрытых дефектов. Данное распределение применяется также к ремонтируемым объектам с простейшим потоком отказов.

Распределение Релея достаточно полно описывает поведение элементов и объектов с явно выраженными эффектами износа и старения.

Вероятность безотказной работы при этом распределении:

, (1.26)

где с – параметр распределения.

Частота отказов:

. (1.27)

Интенсивность отказов:

. (1.28)

Средняя наработка на отказ:

. (1.29)

Распределение Пуассона применяется для оценки надежности ремонтируемых изделий с простейшим потоком отказов.

, (1.30)

где К – число отказов за время t; λ – интенсивность потока отказов; P_K(t) – вероятность того, что за время t произойдет К отказов.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) используется для вычисления надежности объектов, для которых типичен износ. Отказы объектов носят постепенный характер, вследствие старения элементов.

Плотность вероятности момента отказов:

.

Она зависит от двух параметров: среднего значения времени работы до отказа Т₀ и среднеквадратичного отклонения наработки на отказ σ.

Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения Т₀.

Вероятность безотказной работы:

, (1.31)

где Ф – табулированный интеграл Лапласа.

Интенсивность отказов:

. (1.32)

Нормальная плотность распределения отлична от нуля при t < 0. Этот недостаток несущественен, если Т₀ >> σ. При этом условии частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь. Если это условие не выполняется, то использование нормального распределения приводит к погрешностям.

Часть кривой распределения при t < 0 отсекают. Получают усеченное нормальное распределение.

Формулы к усеченному нормальному распределению следующие.

Вероятность безотказной работы:

. (1.33)

Интенсивность отказов:

. (1.34)

Среднее время безотказной работы:

. (1.35)

Интенсивность отказов при нормальном и усеченном нормальном распределениях резко возрастает с течением времени, что характерно для стареющих устройств.

Контрольные вопросы

1. В зависимости от чего выбирается закон распределения случайной величины?

2. Как охарактеризовать закон Вейбулла?

3. Дайте определение экспоненциального распределения.

4. Охарактеризуйте распределение Релея.

5. Как охарактеризовать распределение Пуассона и распределение Гаусса?