Гипотеза о двух долях

В приложении к главе 19 был дан обзор природы проверки гипотез, для чего в качестве примера использовалась гипотеза об одной доле генеральной совокупности. В данном разделе мы намерены проиллюстрировать процедуру проверки различия между двумя долевыми выборками из генеральной совокупности.

Проверка различия двух долей генеральной совокупности является в основном проблемой объема выборок. Каждая выборка должна быть достаточно большой, чтобы для явно биноминального распределения выборочных долей могла использоваться нормальная аппроксимация. Практически это означает, что для любой выборки и nq должны быть больше 10, где р — доля «успехов», а q — доля «неудач» в выборке, п — объем выборки.

Для иллюстрации предположим, что какой-то изготовитель косметики интересуется сравнением использования распыляемых жидкостей для ухода за волосами мужчинами из числа студентов колледжей и тех, кто в колледжах не учится. Положим, были взяты случайные выборки из 100 студентов и 100 не студентов города Остин, штат Техас, для которых определялась интенсивность пользования распыляемыми жидкостями для ухода за волосами в течение последних трех месяцев. Далее допустим, что из выбранного числа мужчин 30 студентов и 20 не студентов в этот период такими жидкостями пользовались. Доказывает ли это, что доля студентов, пользующихся распыляемыми жидкостями, значительно выше пользующихся ими не студентов?

Поскольку мы заинтересованы в определении того, действительно ли эти две доли генеральной совокупности различны, построим нулевую гипотезу, исходя из того, что они одинаковы, т. е.

где 1 относится к популяции мужчин-студентов колледжей, а 2 — к популяции мужчин, которые студентами не являются. Выборочные доли =0,30 и = 0,20, поэтому =30, = 70, =20, =80, и для биноминального распределения может использоваться нормальная аппроксимация. Статистикой проверки является z=первая выборочная доля минус вторая выборочная доля минус величина, определяемая гипотетической разностью долей первой и второй популяции, и все это поделенное на стандартную ошибку разности двух выборочных долей, или

В приложении к главе 19 был дан обзор природы проверки гипотез, для чего в качестве примера использовалась гипотеза об одной доле генеральной совокупности. В данном разделе мы намерены проиллюстрировать процедуру проверки различия между двумя долевыми выборками из генеральной совокупности.

где — стандартная ошибка разности двух выборочных долей.

Вопрос, который остается открытым при расчете z, состоит в том, чему же равно

Общий статистический результат, который полезен для понимания расчета , состоит в том, что разброс суммы, или разности двух независимых случайных переменных равен сумме отдельных разбросов. Для одной популяции разброс составляет и, таким образом, разброс разности есть

Заметим, что разброс разности задается в виде двух неизвестных и для каждой доли популяции. Хотя эти величины и неизвестны, они предполагаются равными, и, таким образом, мы имеем «естественный» случай оценки суммарного разброса; для оценки логично использовать , где

И

Для примера

Расчетное z находится следующим образом:

тогда как критическое z=1,96 при =0,05. Выборочные результаты не указывают на существование различий в использовании распыляемых жидкостей для ухода за волосами между мужчинами-студентами колледжей и мужчинами, не являющихся студентами.

95% доверительный интервал рассчитывается по формуле (первая выборочная доля — вторая выборочная доля)±z(оценочная стандартная ошибка разности двух долей), или , что дает (0,30-0,20)±1,96(0,061)=0,10±0,12, т. е. позволяет прийти к тому же заключению. Интервал включает в себя ноль, что дополнительно подтверждает отсутствие различия в использовании рассмотренного средства для ухода за волосами этими двумя группами людей.