4.3 Індивідуальні завдання

Залишок ділення № варіанту на 5	0	1	2	3	4
Рівень значущості, α	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05

Для критерія Пірсона ( ) n = 200;

для критерія Колмогорова-Смірнова (K-S) n = 35 + № варіанту.

Згенерувати в Ехсеl вибірки за законом розподілу згідно свого варіанту:

№ варіанту		1	2	3	4	5	6
Критерій		R(0;2)	R(‑2;0)	N(‑1;2)	N(0;4)	E(1)	E(2)
	K-S	N(1;2)	E(0,5)	E(0,05)	R(‑2;2)	R(‑1;3)	N(‑1;3)

7	8	9	10	11	12	13	14
R(‑1;1)	R(‑5;‑1)	N(‑1;7)	N(2;1)	E(4)	E(3)	R(0;2)	R(‑4;1)
N(2;2)	E(1,5)	E(0,3)	R(‑3;1)	R(0;5)	N(‑2;3)	N(0;2)	E(0,1)

5 Лабораторна робота № 5 Перевірка гіпотези однорідності двох вибірок

5.1 Постановка завдання

Перевірити гіпотезу однорідності двох незалежних вибірок:

1. для повних вибірок, використовуючи граничні розподіли відповідних статистик за допомогою:

• критерій однорідності Колмогорова-Смірнова;

• рангових критеріїв однорідності;

2. для часткових вибірок (взявши 4 перших значення з першої вибірки та 6 - з другої), використовуючи точні розподіли відповідних статистик рангового критерію однорідності;

3. для множинних вибірок по критерію Краскала-Уолеса.

5.2 Теоретичні відомості

Критерій однорідності Колмогорова-Смірнова.

Критерій побудований на емпіричній функції розподілу.

Розглянемо випадок двох одномірних вибірок: , . Нехай х_i, у_i - варіаційні ряди, які збудовані з елементів першої та другої вибірок, їх емпіричні функції розподілу , _. Вводимо наступну статистику: . Якщо гіпотеза H₀ істинна, розподіл статистики залежить тільки від об’єму вибірки і не залежить від виду функцій.

Якщо , то заперечується, в іншому випадку - приймається.

Критерій однорідності .

Використовується для згрупованих, дискретних та неперервних випадкових величин.

Нехай є вибірок об’єму та дані кожної вибірки сгруповані в s груп (інтервалів). Кількість елементів j –ої вибірки, які попали в і -ту групу позначимо .

Статистикой критерію є величина

,

, , .

В окремому випадку при статистику можна записати у вигляді: , де - кількість елементів першої та другої вибірок, які потрапили в i -ту групу.

У випадку вірності статистика має розподіл з ступенями свободи. Якщо , то заперечується.

Рангові критерії. Критерій Вилкоксона-Манна-Уітні.

Критерій використовується для зрівняння двох незалежних вибірок об’єму n₁ та n₂, та перевіряється : вибірки отримані з однієї генеральної сукупності та мають рівні середні та медіани.

Алгоритм перевірки гіпотези.

Статистика W критерію визначається наступним чином. Поставимо n₁ + n₂ значень об’єднаної вибірки в порядку зростання у вигляді варіаційного ряду. Кожному елементу ряду поставимо у відповідність його номер в ряду - ранг. Якщо декілька елементів ряду співпадають за величиною, то кожному з них дається ранг, рівний середньому арифметичному їх номерів. Останній елемент в ранжировці об’єднаної вибірки повинен мати ранг n₁ + n₂ .

Нехай R₁ - сума рангів першої вибірки, R₂ - сума рангів другої вибірки. Обчислимо значення w₁ та w₂:

, .

Перевірка w₁ + w₂= n₁n₂.

1. Для малих вибірок: вибіркове значення W_B = min(w₁, w₂), критична область - верхня 2,5% область розподілу Манна-Уітні з параметрами n₁ та n₂ , ;

2. Для великих вибірок (n_i > 8): вибіркове значення , критична область - - квантилі стандартного нормального розподілу.

Критерій Краскала-Уоллеса.

Якщо кількість вибірок l > 2, то використовують критерій Краскала-Уоллеса. Загальне число випробувань об’єднують та ранжирують. Статистика критерію Краскала-Уоллеса:

_,

де R_i - сума рангів і -тої вибірки.

Гіпотеза заперечується, якщо - розподіл Краскала- Уоллеса. При та величина H приблизно розподілена за законом з ступенями свободи; тоді Н₀ про рівність законів розподілу приймається, якщо .