4. Одномерная оптимальная фильтрация

Частотные фильтры при неограниченных или перекрывающихся спектрах полезных сигналов и помех не оптимальны. Вопрос о построении оптимальных фильтров – наилучшим образом обеспечивающих выделение полезного сигнала на фоне помех – вопрос о задачах (целях) фильтрации и критериях оптимальности.

Критериальный подход

Цели фильтрации зависят от соотношения интенсивностей (амплитуд) полезных сигналов и помех в зонах их интерференции (А_с / А_п ). Можно выделить 3 ситуации.

1. (А_с / А_п )  1 – фильтр должен выявить (обнаружить) полезный сигнал на фоне помех (фильтр обнаружения). Естественным критерием оптимальности будет отношение «сигнал/помеха» S/N = (А_с / А_п ). Как уже указывалось выше, для удовлетворительного выделения сигналов нужно иметь S/N = 2-3, для хорошего – S/N = 8-10. В этой ситуации приходится мириться с искажением спектра сигналов и, соответственно, формы импульса. Представителями данного класса могут служить собственно фильтр обнаружения и сованный фильтр, отличающиеся видом помех, на подавление которых они ориентированы.

2. (А_с / А_п )  1– фильтр должен выделить и с минимальными искажениями воспроизвести в заданной форме полезный сигнал (фильтр воспроизведения). В качестве критерия оптимальности целесообразно использовать минимум среднеквадратического отклонения выходного сигнала f_вых(t) от желаемой формы. s(t). Типичным представителем этого класса фильтров является фильтр Винера, обеспечивающий наилучшее использование спектральных различий помехи и сигнала. Он основан на использовании уравнения Колмогорова-Винера (в западной литературе – Винера-Хопфа), связывающего функцию автокорреляции входного сигнала b_f(), импульсную характеристику фильтра h(t) и функцию взаимной корреляции входного сигнала (f(t)) и желаемого выхода (s(t)) – r_f,s().

3. (А_с / А_п ) >> 1 – в этом случае может быть поставлена задача повышения временной разрешенности сейсмической записи. Во временной области это выражается сжатием длительности импульса сигнала (в пределе – до -импульса), в частотной – расширением спектра сигнала (в пределе – до спектра -импульса, равномерного во всей полосе частот). Критерием оптимальности может служить отличие выходного сигнала от -импульса или неравномерность спектра выходного сигнала.

В третьей ситуации возможны два подхода, именуемые обратной фильтрацией (деконволюцией) и прогностическим фильтром (предсказывающей деконволюцией, фильтром ошибки предсказания).

Обратная фильтрация

Обратная фильтрация применяется в том случае, когда полезный сигнал и помеха (регулярная или нерегулярная) имеют близкий частотный состав.

Предположим, что импульс создаваемый источником упругих колебаний удовлетворительно аппроксимируется d-импульсом. Принятый сигнал можно представить как s(t) = (t)  (t), где (t) – оператор, описывающий фильтрующие свойства геологической среды (оператор конволюции), которому в частотной области соответствует (ω). Спектр d-импульса, постоянен на всех частотах и может быть принят за 1. Тогда спектр входного сигнала будет S(ω) = 1· Q(ω) или 1 = S(ω)/ Q(ω) = (1/ Q(ω))· S(ω). Из этого следует, что если нужно преобразовать входной сигнал к форме исходного d-импульса (деконволюция), имеющего постоянный спектр, равный 1, нужно выполнить: S(ω) ·H(ω) = 1, из чего следует, что комплексная частотная характеристика деконволюционного преобразования будет: H(ω) = 1 / S(ω) (24)

Однако использовать фильтр с частотной характеристикой вида (24) практически невозможно, поскольку на частотах, где S(ω)  0 комплексная характеристика фильтра будет стремиться к . Для разрешения этой проблемы в знаменатель выражения (24) вводят стабилизирующий элемент, препятствующий его обращению в 0: H(ω) = 1 / (S(ω) + ). В качестве стабилизатора часто используется осреднённый спектр мощности случайной числовой последовательности типа «белый шум». Такая последовательность имеет равномерную амплитудно-частотную характеристику и случайную фазово-частотную.

Если помеха на входе фильтра была случайным сигналом, то на выходе фильтра она преобразуется в случайную помеху типа «белый шум», если она была регулярной, то, как и полезный сигнал, она преобразуется в d-импульс, т.е. за счёт сокращения длительности полезного сигнала и помехи происходит их разделение по времени регистрации и, соответственно, повышается временнáя разрешенность сейсмической записи. Если помеха на входе фильтра превышала сигнал в  раз, то на выходе фильтра полезный сигнал увеличения амплитудной разрешенности не произойдёт. Из этого следует условие применимости данного типа оптимального фильтра: (А_с / А_п ) >> 1.

Прогностический фильтр

Как известно, функция автокорреляции (ФАК) b_f () = характеризует степень связи между значениями функции f(t), смещенными относительно друг друга (по аргументу) на величину , т.е. она позволяет по значению функции f(t) в точке t прогнозировать значение этой функции в точке (t + ).

Пусть сейсмотрасса представляет собой числовую последовательность амплитуд суперпозиции сейсмических сигналов, приходящих к сейсмоприёмникам в разные моменты времени. На сейсмотрассе таким образом формируется интерференционная картина, меняющаяся во времени. Каждому элементу трассы неявным образом поставлен в соответствие момент времени его регистрации – задано начальное время регистрации и шаг дискретизации сигнала по времени (t). Сейсмотрасса обрабатывается скользящим окном длиной (N + ) отсчётов. Окно перемещается вдоль трассы с шагом в один отсчёт.

В каждом положении окна обработки на интервале первых N отсчётов вычисляется ФАК и прогнозируется значение сигнала в отсчёте, отстоящем от интервала расчёта ФАК на величину d. Прогнозное значение сравнивается с реальным и в массив результатов записывается величина ошибки предсказания. Если в интервале (N + ) присутствуют только те сигналы, что и в интервале N, товеличина ошибки предсказания мала. Если по мере перемещения окна обработки в интервал(N + d) попадает новый сигнал, то величина ошибки резко возрастает. Значительная ошибка сохраняется до тех пор, пока новый сигнал не войдёт в область расчёта ФАК, т.е. дительность сигналаошибки равна d. Принимая величину интервала предсказания d = dt можно добиться сжетия сейсмических сигналов до одного отсчёта (до d-импульса), т.е. прогностический фильтр реализует деконволюционное преобразование.

Очевидно, что для построения оптимальных фильтров необходима априорная информация о свойствах сигнала и помехи либо в спектральной области (амплитудно-частотные и фазово-частотные спектры, спектры ляционные функции и т.п.) либо во временнóй области (форма импульса, преобладающая (видимая) частота сигнала, относите).