§ 3. Волны Римана. Градиентная катастрофа. Теорема о примыкании.

Рассмотрим баротропное ( p=p(ρ) ) движение газа с плоскими волнами ( ν=1 ), в котором один из инвариантов Римана, например l , постоянен во всем течении:

(3.1)

Тогда вдоль любой C₊ - характеристики сохраняют постоянными свои значения и , то есть остаются постоянными скорость v и плотность ρ . Это означает, что на такой характеристике Поэтому в рассматриваемом течении все характеристики семейства C₊ прямолинейны и вдоль каждой из них параметры газа постоянны. Течение такого типа называется простой волной, или волной Римана.

Изучим его подробнее. Будем предполагать, что различным C₊ - характеристикам отвечают разные значения плотности ρ , а значит и разные v , a , r . Тогда рассматриваемое решение уравнений одномерного неустановившегося баротропного движения газа с плоскими волнами можно представить в неявном виде:

, , (3.2)

где f - произвольная, вообще говоря, функция.

Здесь в первом равенстве инвариант Римана l выражен в виде функции скорости v частиц и скорости звука a (для изоэнтропического движения совершенного газа с постоянными теплоемкостями соответствующее выражение приведено в (1.19)). Значение f₁=f(v₁) функции f(v) при любом v₁ имеет смысл абсциссы точки пересечения с осью x той С₊- характеристики, вдоль которой v ≡ v₁ .

Задаваясь конкретным видом зависимости f(v) и разрешая (3.2) относительно v и a , можно получить явный вид решения:

Например, в случае f(v) ≡ 0 из равенств (см. (1.19))

следует

(3.3)

Одномерное изоэнтропическое течение совершенного газа, описываемое формулами (3.3), называется центрированной волной Римана, или центрированной простой волной (с центром в точке O(0;0) на плоскости независимых переменных (t; x) ). В этом решении все прямолинейные C₊ - характеристики выходят из начала координат, причем моменту t = 0 отвечает особенность (неоднозначность) при x=0 .

Аналогично (если f(v) ≡ 0 ) можно построить решение в виде центрированной простой волны и в случае любой другой баротропной зависимости p(ρ) .

Выше были рассмотрены простые волны, распространяющиеся по частицам газа слева направо (в сторону растущих значений координаты x ). Таким волнам отвечает условие (3.1). Если же принять условие

(3.4)

то получим решение в виде волны Римана, распространяющейся по газу влево:

, , (3.5)

где g(v) - произвольная функция. Все определения и выводы, относящиеся к волнам Римана, бегущим вправо, переносятся также на волны, распространяющиеся влево.

При прохождении простой волны по частицам газа (а движется эта волна со скоростью звука) плотность и давление могут как увеличиваться, так и уменьшаться. В первом случае волна Римана называется волной сжатия, а во втором – волной разрежения.

Рассмотрим, например, волну сжатия, распространяющуюся по газу вправо. Ограничимся случаем совершенного газа с постоянными теплоемкостями. При переходе с одной C₊ - характеристики на другую в сторону растущих значений x плотность ρ должна уменьшаться: ∂ρ/∂x < 0 (слева находится более плотный газ). Поскольку давление и скорость звука пропорциональны соответственно ρ^γ и ρ^(γ-1)/2 (причем γ >1 ), то изменения давления и скорости звука имеют такой же знак, как и изменения плотности, т.е. ∂p/∂x < 0 , ∂a/∂x < 0 . Далее, в силу равенства получаем ∂v/∂x < 0 . Таким образом ∂(v+a)/∂x < 0 , т.е. с ростом x (при фиксированном t ) угол между осью x и C₊ - характеристиками растет. Это означает, что семейство прямолинейных C₊ - характеристик образует сходящийся кверху веер (рис. ).

В случае волны разрежения, распространяющейся по газу вправо, знаки всех неравенств заменяются на противоположные. Получаем расходящийся кверху веер прямолинейных С₊ - характеристик (рис. ).

Точно так же, если простая волна разрежения (сжатия) распространяется по газу влево, то прямолинейные С_- - характеристики образуют расходящийся (сходящийся) кверху веер.

Отметим, что полученный для совершенного газа вывод переносится и на более общий случай нормального газа (определение нормального газа см., например, в /Черный, Овсянников/):

простая волна сжатия изображается в плоскости (x; t) веером сходящихся прямолинейных характеристик, а простая волна разрежения – расходящимся веером.

Поскольку в простой волне сжатия прямолинейные акустические характеристики, принадлежащие одному семейству, сближаются с ростом времени t , то неизбежно наступает момент пересечения этих характеристик. В таком случае говорят, что простая волна опрокидывается. Факт пересечения характеристик одного семейства означает, что в одной точке пространства одновременно наблюдаются, по меньшей мере, два различных значения плотности, давления и скорости. Действительно, в простой волне вдоль каждой прямолинейной характеристики эти параметры сохраняются, а при переходе с одной характеристики на другую их значения меняются. Если различные характеристики, принадлежащие одному семейству неограниченно сближаются, но градиенты плотности, давления и скорости газа возрастают до бесконечности (при этом сами значения ρ , v , p остаются ограниченными). Такое явление называется градиентной катастрофой. Опрокидывание волны Римана наглядно представлено на рис. , где показанa эволюция во времени графика зависимости давления p от координаты x в волне, распространяющейся по газу вправо. Моменты времени t₁ , t₂ , t₃ , t₄ упорядочены в возрастающем порядке, причем t₃ как раз отвечает градиентной катастрофе (у графика появляется вертикальная касательная).

На самом деле в реальном течении газа неоднозначности в распределении плотности, давления или скорости быть не может. Поэтому градиентная катастрофа свидетельствует о неудовлетворительности принятой математической модели. Выходом из этой ситуации является рассмотрение обобщенных решений уравнений газовой динамики, содержащих поверхности сильного разрыва (см. § 4).

В задачах об одномерных нестационарных движениях газа типичной является ситуация, когда по однородному (покоящемуся либо движущемуся) газу распространяются возмущения, вызванные некоторыми определенными причинами. Рассмотрим случай непрерывного движения (без сильных разрывов).

Теорема о примыкании. Изоэнтропическое движение газа с плоскими волнами, непрерывно граничащее с постоянным течением и не являющееся таковым, есть простая волна.

Сначала докажем следующее утверждение.

Теорема. Если в непрерывном течении газа с плоскими волнами имеется прямолинейная акустическая характеристика с постоянными значениями скорости, плотности и давления вдоль нее, то по любую сторону от этой характеристики вблизи нее течение либо постоянно, либо является простой волной.

Доказательство. Пусть AB - отрезок прямолинейной акустической характеристики с постоянными значениями v , ρ , p , принадлежащей, например, семейству C₊ . Поскольку s=s(ρ, p) , то на AB энтропия постоянна и в области Ω_s плоскости (x; t), через которую проходят C₀ - характеристики, пересекающие отрезок AB , течение является изоэнтропическим. С другой стороны, C_- - характеристики, пересекающие отрезок AB , переносят одно и то же значение инварианта l (вдоль AB: l=const). Обозначим Ω_l область, занятую такими характеристиками. Тогда в пересечении областей Ω_s и Ω_l движение газа представляет собой либо простую волну, распространяющуюся по газу вправо, либо однородный поток. Возможен случай, когда с одной стороны от AB находится однородный поток, а с другой – простая волна. В этом случае AB является линией слабого разрыва.

Если AB - прямолинейный отрезок C_- - характеристики, рассмотрение проводится аналогично. Теорема доказана.

Доказательство теоремы о примыкании.

В плоскости переменных x , t при непрерывном движении газа линией, отделяющей однородный поток от неоднородного, может быть только характеристика одного из трех семейств ( C₊ , C_- или C₀ )- слабый разрыв. Но в силу предположения об изоэнтропичности потока производная ∂s/∂x всюду равна нулю, поэтому линией слабого разрыва является акустическая характеристика. Причем вдоль этой характеристики все параметры газа постоянны, так как с одной стороны к ней примыкает однородный поток. Значит, данная характеристика прямолинейна. Тогда по доказанной только что теореме с другой стороны к этой характеристике примыкает волна Римана. Утверждение доказано.

Приведенные выше теоремы объясняют ту важную роль, которую играют при рассмотрении одномерных нестационарных движений газа простые волны.