§ 2. Слабые разрывы

Использование уравнений (1.1)-(1.4) для описания одномерных движений газа предполагает непрерывную дифференцируемость функций , , , . Вместе с тем, большой интерес представляют обобщенные решения уравнений газовой динамики. Структура этих решений следующая.

Область пространства, занятая движущимся газом, разбита на изменяющиеся со временем (вообще говоря) подобласти, в каждой из которых функции непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными. В то же время на поверхностях раздела этих подобластей либо сами указанные функции, либо какие-то их производные терпят разрыв. В первом случае границы раздела называются поверхностями сильного разрыва, а во втором – слабого разрыва.

Рассмотрим одномерное нестационарное движение газа, содержащее поверхность слабого разрыва Г . Закон движения этой поверхности представим в виде x = X(t) . Поскольку в точках, не принадлежащих Г , частные производные функций , , , удовлетворяют условиям (1.1) - (1.3), то в предположении, что на Г эти производные имеют, возможно, разрывы первого рода, а сами функции – непрерывны, из (1.1) - (1.3) получим

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Здесь квадратные скобки означают скачок заключенной в них величины при переходе через Г :

Воспользуемся характеристической формой (1.13) уравнений одномерных нестационарных движений. Тогда для скачков производных по времени и по координате от скорости v и давления p получим

(2.4)

(2.5)

С другой стороны, поскольку функции v(t, x) , p(t, x) , s(t, x) непрерывны, то их производные по t в направлении непрерывны на Г (приращения этих функций за одинаковые промежутки времени одинаковы в точках, лежащих на Г по разные стороны от этой поверхности ). Это означает, что

(2.6)

Выражая отсюда скачки производных по времени и подставляя их в (2.3)-(2.5), будем иметь

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Очевидно, что, если в левых частях этих равенств равны нулю одновременно все вторые сомножители, то никакого слабого разрыва нет: скачки всех производных равны нулю. Поэтому в одном и только в одном из равенств (так как a ≠ 0 ) должен обращаться в нуль первый сомножитель. В результате получим три возможных случая.

1)

2)

3)

Таким образом скорость слабого разрыва совпадает с одной из характеристических скоростей: v , (v+a) или (v-a). Поэтому в плоскости (t; x) траекторией поверхности слабого разрыва служит одна из характеристик

C₀ , C₊ или С_- .

Слабые разрывы первого типа перемещаются вместе с частицами газа. Слабые разрывы второго и третьего типа движутся относительно газа со скоростью звука a в противоположных направлениях.

На графиках зависимости s, v , p , ρ от координаты x (в какой-нибудь фиксированный момент времени) слабым разрывам соответствуют точки излома: на слабых разрывах первого типа претерпевают скачок производные от s и ρ , а на остальных – производные от v , p и ρ .

Тот факт, что линия слабого разрыва в плоскости (t; x) совпадает с одной из характеристик уравнений газовой динамики, можно пояснить следующим образом.

Пусть известно решение в области по одну сторону от какой-либо характеристики C . Тогда по данным на этой характеристике невозможно однозначно восстановить значения производных от v , p , ρ в направлении нормали к линии C . Это означает, что продолжить решение в область, находящуюся по другую стороны от характеристики можно разными способами. В частности, для «продолженного» решения некоторые его производные могут иметь на линии C разрывы первого рода.