12.3 Расчет температурного поля при нестационарной теплопроводности для случая охлаждения плоско-параллельной пластины
И для определения температур в центре и на поверхностях пластины, и для определения теплоты, выделившейся при охлаждении пластины, необходимо знать распределение температур в ее теле, т.е. уравнение температурного поля.
Для аналитического решения задачи, включающей уравнение (12.7), и краевые условия используют метод разделения переменных, т.е. ищут решение в виде:
= f(τ, х) = f1 (х) · f2 (τ), (12.17)
где f1 – зависит только от координаты х,
f2 – зависит только от τ.
После целого ряда математических преобразований получают тригонометрическое уравнение вида:
,
(12.18)
где μ = κ·δ, а к – некоторая постоянная, полученная в ходе преобразований.
Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении Bi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (12.18) решается графическим способом.
Обозначим левую
часть уравнения через у1
=
,
а правую через у2
=
.
Пересечение котангенсоиды у1
с прямой у2
дает значение корней уравнения (12.18),
т.е. μ.
Рисунок 12.3 К решению уравнения (12.18)
Из рисунка 12.3 следует, что μ1 < μ2 < μ3 < μ4 < …
Важно отметить, что каждому числу Bi соответствует своя совокупность корней уравнения (12.18). Первые четыре корня уравнения μ1, μ2 , μ3, μ4 приводятся в справочной литературе в табличной форме для различных значений числа Bi (от 0 до ∞).
При Bi → ∞ прямая у2 = совпадает с осью абсцисс и корни уравнения будут равны:
что μ1
= π/2; μ2 =
;
μ3
=
;
μn
=
.
При Bi → 0 прямая у2 = совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни уравнения (12.18) равны:
μ1
=0; μ2 =
π; μ3
= 2π; μn
=
,
где n
= 1,2,3….
Для других конечных значений числа Bi μn имеют промежуточные значения. Следовательно, каждому найденному значению корня μ будет соответствовать свое частное распределение температуры.
Общее решение дифференциального уравнения (12.7) для текущей избыточной температуры J = t - tср при t > 0 представляют в виде суммы бесконечного ряда:
(12.19)
Уравнению температурного поля (12.19) целесообразно придать безразмерную форму. Для этого следует разделить обе части уравнения на J1 – избыточную температуру в начале процесса при t = 0.
Входящие в уравнение (12.19) величины - число Фурье и C= х/d, являются безразмерными. С учетом этого уравнение температурного поля для бесконечной пластины в безразмерной форме примет вид:
(12.20)
Анализ полученного решения, уравнения (12.20) показывает, что т.к. μ1; μ2 …; μn представляет собой ряд возрастающих чисел, то чем больше μ, тем меньше роль последующего ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше , тем члены ряда будут убывать быстрее. Многочисленные исследования показали, что уже при Fo ≥ 0,3, ряд (формула 12.20) становится настолько быстросходящимся, что температурное поле достаточно точно описывается первым членом ряда, ошибка не превышает 1 %.