11

ТМО-5 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

5.1 Методы исследования явлений конвективного теплообмена. Класс явлений, группа явлений, единичное явление

При изучении различных физических явлений (в том числе и явлений конвективного теплообмена) применяют два основных метода исследований:

- экспериментальное изучение конкретных свойств, единичного явления;

- теоретическое исследование рассматриваемой проблемы.

Достоинствами экспериментального метода исследования являются: во-первых, достоверность получаемых результатов, а во-вторых, возможность сосредоточить внимание на изучении физических величин, представляющих практический интерес.

Основным недостатком экспериментального метода исследования является то, что результаты данного эксперимента не могут быть использованы применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Следовательно, при экспериментальном методе исследования каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения.

Теоретический метод исследования для нахождения количественных зависимостей широко применяется в современной науке и рассматривается в математической (теоретической) физике.

При выводе дифференциальных уравнений и теплопроводности и конвективного теплообмена используются самые общие законы природы, которые в свою очередь являются результатом чрезвычайно широкого обобщения опытных данных. Приложение этих общих законов к изучаемым явлениям позволяет получить наиболее общие связи между физическими параметрами явления, что, безусловно, является достоинством метода математической физики.

Например, вывод дифференциального уравнения Фурье (), при котором не учитывалась конкретная обстановка явления, а рассматривался только выделенный элементарный объем тела dv. При выводе этого уравнения использовался единственный опытный факт – перераспределение энергии в среде возможно только при наличии градиентов температуры, не равных нулю. Поэтому полученное дифференциальное уравнение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям класса явлений теплопроводности. Переменные, входящие в это уравнение, могут принимать самые различные значения, каждое из которых отвечает какому-либо единичному явлению.

Следовательно, классом явлений называется такая совокупность явлений, которая характеризуется одинаковым механизмом процессов и одинаковой физической природой.

Явления, которые входят в класс явлений, подчиняются одинаковым уравнениям, как по форме записи, так и по физическому содержанию входящих в них величин.

Последнее уточнение является весьма важным.

Например, дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерной не стационарной задачи: имеет одинаковую форму записи с дифференциальным уравнением для нестационарного процесса переноса вещества (диффузии): ,

где D – коэффициент диффузии; С – концентрация переносимого вещества.

Однако это уравнение описывает совершенно другой класс явлений, так как величины, входящие в него имеют другое физическое содержание.

В ходе теоретических исследований при интегрировании любого дифференциального явления, описывающего тот или иной процесс, можно получить бесчисленное множество решений, удовлетворяющих этому уравнению.

Чтобы получить из множества решений одно частное, необходимо знать все особенности данного конкретного явления, выделяющие его из всего класса однородных явлений. Поскольку эти дополнительные условия вместе с диф. уравнениями однозначно определяют единичное явление, их называют условиями однозначности.

Известно, что условия однозначности состоят из:

1. временных (начальных) условий, характеризующих протекание процесса в начальный момент времени во всем объеме рассматриваемой системы (для стационарных процессов начальные условия не задаются);

2. геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы;

3. физические условия – физические параметры, которыми характеризуются тела, входящие в систему;

4. граничные условия, характеризующие взаимодействие системы с окружающей средой.

Система диф. уравнений (или диф. уравнение) и четыре условия однозначности математически описываю единичное явление.

В большинстве случаев явлений конвективного теплообмена из-за сложности изучаемых явлений найти решение, удовлетворяющее дифференциальным уравнениям и условиям однозначности невозможно.

Таким образом, недостатком метода математической физики является невозможность перейти от класса явлений к единичному явлению, в то время как основным недостатком экспериментального метода является, как уже отмечалось, невозможность перейти от единичного явления к классу явлений. Каждый из этих методов не может быть эффективно использован для решения практических задач.

Если положительные стороны теоретического и экспериментального методов объединить, то можно получить универсальный аппарат для изучения различных явлений. Такое объединение осуществляется теорией подобия.

Теория подобия позволяет из дифференциальных уравнений и условий однозначности сделать ряд выводов, не прибегая к интегрированию, и которые являются теоретической базой для постановки экспериментов и обработки их результатов.

В теории подобия кроме класса явлений и единичного явления вводится понятие группа явлений.

Группой явлений называется совокупность физических процессов, описываемых одинаковыми по форме и содержанию дифференциальными уравнениями и одинаковыми по форме и содержанию условиями однозначности.

Различие между единичными явлениями, входящими в данную группу явлений, будет состоять только в различии численных значений величин, входящих в условия однозначности.

В теории подобия группу явлений выделяют путем умножения каждой величины, входящей в условия однозначности на постоянные численные множители. Для различных физических величин эти множители различны.

Способ построения группы явлений можно проиллюстрировать на примере геометрических фигур.

Например, прямоугольники подобны – если их стороны пропорциональны.

b₁/ b₂ = b₂/ b₃ =K_l,

Рисунок 5.1 Геометрическое подобие

Величину K_l называют множителем преобразования или константой подобия.

При таком построении прямоугольников каждый их них отличается от другого только своим масштабом. При этом каждой точке одной фигуры соответствует сходственная точка другой фигуры. Такие преобразования называют подобными. Принципы подобия применимы не только к геометрическим фигурам, но и физическим процессам.