2. Регрессионные модели с бинарными независимыми переменными

Одной из сфер применения бинарных переменных является анализ сезонных колебаний. С помощью этих переменных можно устранить сезонные колебания с целью определения основных тенденций развития данного экономического процесса.

Пример 2. Пусть у - объем потребления определенного продукта, который зависит от времени года. Для выявления сезонности можно ввести бинарные переменные d_1, d_2, d₃ :

d₁ = 1, если месяц года зимний, d₁ = 0 - в других случаях;

d₂ = 1, если месяц года весенний, d₂ = 0 - в других случаях;

d₃ = 1, если месяц года летний, d₃=0 в остальных случаях.

На базе соответствующих статистических данных методом наименьших квадратов можно оценить параметры а₀, а_1, а_2, а₃ линейного регрессионного уравнения

у = а₀ + а₁ d₁₊ а₂ d₂ + а₃ d₃ + и.

Полученные результаты имеют следующий смысл: коэффициент а₀ определяет среднемесячный объем потребления исследуемого продукта, суммы а₀ + а₁, а₀ + а₂, а₀ + а₃ - объем потребления в соответствии зимой, весной и летом. Итак, параметры а₁, а₂, а₃ указывают на сезонные отклонения в объемах потребления продукта относительно осенних месяцев. Проверка статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии осуществляется с помощью традиционного t-теста. Принятие гипотезы о равенстве нулю каждого из параметров означает несущественную разницу между потреблением в осенний период и потреблением в другой сезон. Комплексная гипотеза а₁ = а₂ = а₃ = 0 проверяется с помощью F-теста. В частности, если принимается предположение а₁=а₂, то это означает, что потребление зимой и весной не отличаются между собой и т.д.

Пример 3. Рассмотрим еще один пример применения фиктивных переменных.

Пусть у - среднемесячный объем потребления некоторого индивида, а I - его среднемесячный доход. В линейной регрессионной модели зависимости потребления от дохода

коэффициент а₁ называется "склонностью к потреблению". Чтобы определить влияние сезона на склонность к потреблению, как и в предыдущем примере, применяют бинарные переменные d_1, d_2, d₃, а модель при этом принимает вид

Коэффициенты этой модели а₇, а₄ +а₇, а₅ + а₇, а₆ + а₇ определяют склонность к потреблению соответствии осенью, зимой, весной и летом. Как и в предыдущей модели проверяются гипотезы об отсутствии сезонных влияний на склонность к потреблению.

Кроме того, бинарные переменные используют также при исследовании моделей, описывающих структурные изменения в экономике.

Пример 4. Пусть исследуется зависимость объема выпускаемой предприятием продукции у от объема его основного фонда х. Предполагается, что после достижения основным фондом предприятия размера происходит определенная структурная перестройка предприятия. Зависимость выпуска продукции от основного фонда в результате перестройки меняется, но в целом остается непрерывной. В таком случае функция зависимости будет кусочно-линейный график, который отражает такое регрессионная модель:

где бинарная переменная d = 0, если , i d = 1, если > .

Если в результате тестирования значимости параметров модели принимается нулевая гипотеза Н₀ : а₂ = 0, то это означает, что структурное изменение на предприятии не произошло.

Заметим, что способ введения в модель бинарных переменных зависит от априорной информации (предварительная) относительно влияния качественных факторов на зависимую переменную и от гипотез, которые необходимо проверить на основании этой информации. В свою очередь этот же образом определяет, как будут интерпретированы полученные оценки параметров модели.