Примеры решения задач

Пример 1. Найти дебройлевскую длину волны электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра =10 пм.

Т_эл

9 10

= h = (1)

Имея в виду, что энергия покоя электрона Е₀ = (то есть Т_эл одного порядка величины с Е₀), можно сделать вывод, что рассматриваемые электроны являются релятивистскими. В этом случае их импульс определяется соотношением:

(2)

Выражение для длины волны де Бройля, с учетом (1) и (2), принимает вид:

Дано: t = 110-8 с =500 нм	в единицах СИ = 510-7 м	Решение: 1) Естественная ширина спектральной линии  определяется неопределенностью энергии частицы в некотором состоянии, которая связана с ее временем жизни t в этом состоянии соотношением: . (1) С другой стороны, энергия фотона связана с его длиной волны соотношением: (2)
Найти: ; 

. (3)

Произведем вычисления по формуле (3):

.

Проверим размерность _В:

_В  = .

Ответ: Длина волны де Бройля для рассматриваемых электронов равна

3,310^-12 м или 3,3 пм.

Пример 2. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет   110^-8 сек. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна 500 нм. Определить относительную ( ) и естественную ширину  получаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов.

Продифференцировав (2) по , получим:

. (3)

Учитывая, что дифференциал dE и приращение E отличаются на бесконечно малую величину, можно из соотношений (2) и (3) выражение для относительной ширины спектральной линии:

или . (4)

И, наконец, используя (1), приведем (4) к окончательному виду:

. (5)

Проверим размерность полученного выражения:

.

И, наконец, вычислим значение ( ):

2) Естественная ширина резонансной линии при этом равна:

_min  2,6510^-8 = 2,6510^-8510^-7 = 13,2510^-15 м  0,0013 пм.

Ответ: Относительная ширина излучаемой спектральной линии равна 2,65 10^-8, а естественная ширина _min  0,0013 пм.

Пример 3. Нормированная собственная волновая функции, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид , (а₀ – первый боровский радиус). Найти для основного состояния атома водорода среднее значение - кулоновской силы притяжения электрона к ядру.

Дано: а 11 12 0 = 52,9 пм	в единицах СИ а0 = 0,52910-10 м	Решение: Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения квантовой частицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами х,y,z. Учитывая статистический смысл квадрата модуля волновой функции, среднее значение любого параметра квантовой час-
Найти:

тицы можно вычислить следующим образом:

, (1)

где - функция, определяющая зависимость данного параметра микрообъекта от положения микрочастицы в пространстве.

Кулоновская сила притяжения электрона к ядру в атоме водорода равна . Учитывая, что волновая функция, описывающая поведение 1s-электрона в атоме водорода, обладает сферической симметрией (см. условие), в данном случае в качестве элементарного объема в (1) имеет смысл использовать объем шарового слоя радиусом r и толщиной dr. В итоге выражение (1) для усредненной кулоновской силы принимает вид:

. (2)

Произведем вычисления по формуле (2):

Ответ: Среднее значение кулоновской силы, действующей на 1s–электрон в атоме водорода равно 0,165 мкН.

Пример 4. За время сутки активность изотопа уменьшилась от А₁ = 118 ТБк до А₂ = 7,4 ТБк. Пользуясь таблицей периодов полураспада, определить природу изотопа. Найти также массу изотопа, имеющего активность А₁.

Дано: = t2 -t1 = 1 сут. А1 = 118 ТБк А 13 14 2 = 7,4 ТБк	в единицах СИ = 8,64104 с А1 = 1,181014Бк А2 = 7,41012 Бк	Решение: 1) В соответствии с законом радиоактивного распада отношение активностей изотопа в моменты времени t2 и t1 можно записать в следующем виде:
Найти: изотоп ; т1.

(1)

Прологарифмировав это соотношение, найдем постоянную распада :

.

Воспользовавшись известным соотношением между  и Т, найдем период полураспада:

Для того, чтобы найти энергию поглощенных -квантов, найдем число частиц, вылетающих из -источника в единицу времени, которое определяется активностью А и выходом  -квантов:

По таблице периодов полураспада радиоактивных изотопов (см. Табл.18) находим, что рассматриваемый период Т = 6 час. соответствует изотопу ртути ¹⁹³Hg.

Найдем массу изотопа ¹⁹³Hg, имевшего активность А₁ = 1,18 10¹⁴ Бк, воспользовавшись следующими соотношениями:

; А₁ = N₁.

Следовательно:

(2)

Определим численное значения т₁ по формуле (2):

.

Ответ: Радиоактивный нуклид в данном случае – это изотоп ртути-193; масса изотопа ¹⁹³Hg равна 1,18 мг.

Пример 5. Определить мощность поглощенной дозы в воздухе и мощность эквивалентной дозы в биологической ткани на расстоянии 1 м от точечного источника - квантов с активностью 10 мКи. Выход -квантов равен 50%, энергия кванта 1,3 МэВ.

Дано: А = 10 мКи R = 1м  = 50%  =1,3 МэВ	В единицах СИ А = 3,7108 Бк;  = 50%  = 2,0810-13 Дж	Решение: 1) Мощность поглощенной дозы в воздухе рассчитывается по формуле: Po = dD/dt, (1) где D – поглощенная доза, равная D = dE/dm. (2)
Найти: PD = dD/dt; PH = dH/dt

.

Разделив это выражение на площадь сферы радиуса R, мы получим плотность потока частиц: (3)

Число частиц, поглощенных объемом dV (длиной l и площадью dS) за время dt, в соответствии с законом Бугера I = I₀e^-kx для поглощения электромагнитного излучения веществом, равно:

.

15 16

(4)

Считая, что l  k^-1 , и разложив в ряд exp (-kl)  1 – kl, получим :

. (5)

Умножив (5) на энергию -кванта, мы получим энергию, поглощенную объемом dV за время dt:

. (6)

Далее, разделив dE на массу объема dV (m = dV) и подставив в полученное выражение соотношение (3), мы получим в соответствии с (2) поглощенную дозу:

. (7)

Соответственно, мощность дозы P_o равна:

P_o = . (8)

Проверим размерности: .

Дано: A = 27 Z = 13	Решение: Масса ядра всегда меньше массы свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра: , (1)
Найти:

В выражения (7) и (8) входит массовый коэффициент поглощения в воздухе для энергии _ = 1,3 МэВ. Значение этого коэффициента можно получить из Табл.19 линейной интерполяцией м²/кг.

Теперь найдем численное значение мощности поглощенной дозы по формуле (8):

P_o = Гр/сек.

2) Мощность эквивалентной дозы будем рассчитывать по формуле:

P_Н = dH/dt, (9)

где Н = К_ D– поглощенная доза в биологической ткани, К_ = 1 – коэффициент качества для -излучения.

Поглощенную дозу в биологической ткани найдем, заменив в (4) в воздухе на массовый коэффициент поглощения в мягкой ткани , который также найдем из Табл.19 путем линейной интерполяции м²/кг.

Тогда мощность эквивалентной дозы будет равна:

P_Н = (10)

Произведем вычисления по формуле (10):

P_Н =

Ответ: Мощность поглощенной дозы P_D = 8,1510^-7 Гр/сек; мощность эквивалентной дозы в биологической ткани P_H = 8,9810^-10

17 18

Зв/сек.

Пример 6. Вычислить дефект массы, энергии связи и удельную энергию связи ядра .

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); т_р ;т_n ;т_я – массы протона, нейтрона и ядра, соответственно.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер. Поэтому (1) необходимо преобразовать таким образом, чтобы в него входила масса нейтральных атомов. Массу ядра можно выразить через массу атома и массу электронов атома:

т_я= т_а-Zт_е . (2)

Подставив (2) в (1), получим:

. (3)

Здесь (т_р+т_e)= – масса атома водорода и поэтому окончательно имеем:

. (4)

Для ядра в соответствии с (4) получим: а.е.м.

Используемые здесь значения масс атомов и элементарных частиц приведены в табл.16 и табл.17.

Энергия связи – разность энергий покоя свободных нуклонов, составляющих ядро, и энергии покоя целого ядра. В соответствии с формулой Эйнштейна, связывающей энергию и массу:

. (5)

В системе СИ используют размерности: [ ] = кг; [с²] = м²/с².

В ядерной физике используют для удобства внесистемные единицы энергии: 1 МэВ = 1,610^-13 Дж и массы: 1 а.е.м. = 1,6710^-27 кг.

Соответственно меняется и значение «с²» в (5) при переходе к таким единицам:

Таким образом, при использовании внесистемных единиц формула (5) примет вид: . (6)

Для получим и, соответственно, удельная энергия связи .

Ответ: Для ядра дефект массы равен 0,242 а.е.м.; энергия связи равна 225,3 МэВ, удельная энергия связи равна 8,345 МэВ/нуклон.

Пример 7. ⁰-мезон образовался при бомбардировке протонов мишени пучком протонов: р + р р + р + ⁰. Определить пороговую энергию образования ⁰-мезона.

Дано: mp = 1,00728 а.е.м. =0,14499 а.е.м.	в единицах СИ mp = 1,67210-27 кг = 2,40610-28 кг	Решение: Пороговая энергия – это минимальная кинетическая энергия налетающей частицы, при которой возможно начало процесса. Запишем для данной реакции законы сохранения импульса и энергии.
Найти: Тп

Закон сохранения импульса, при условии, что протон мишени считается покоящимся, запишем в виде:

(1)

Для релятивистских частиц связь между энергией и импульсом имеет вид: , где - энергия покоя частицы.

Закон сохранения энергии в рассматриваемом случае можно представить так:

,

или, с учетом (1), (2)

Возведем в квадрат обе части равенства (2) и упростим полученное выражение с учетом того, что .





Окончательно выражение для пороговой энергии ⁰ имеет вид:

(3)

Используя данные для масс элементарных частиц (табл.17), найдем значение Т_р:

МэВ.

Ответ: Пороговая энергия образования ⁰-мезона равна 279,7 МэВ.

Пример 8. Определить относительную долю свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К, энергия которых заключена в

ы ы0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000интервале от 0 до ½ Е_F .

Дано: Т = 0 К Е = 0  ½ ЕF	в единицах СИ	Решение: Энергия Ферми в металле при Т = 0 К определяется выражением: ЕF = (32n)2/3, (1) где n - концентрация электронов в металле, me- масса электрона.
Найти: n/n

Из этого выражения можно найти концентрацию электронов в металле:

. (2)

Концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от  до +d (при   Е_F), равна:

dn() = . (3)

Проинтегрировав это выражение в интервале от 0 до ½ Е_F, мы получим концентрацию n электронов при температуре Т = 0 К, энер

19 20

гия которых заключена в интервале от 0 до ½ Е_F:

= (4)

И, окончательно, разделив (4) на (2), получим относительную долю свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К, энергия которых заключена в интервале от 0 до ½ Е_F:

 = = 0,354

Ответ: при T = 0 К доля свободных электронов, энергия которых заключена в интервале от 0 до 1/2Е_F, равна 0,354.