Записать окончательный результат в виде:

(Н/м) при ε = …%

Контрольные вопросы:

1. Что называется деформацией твердых тел?

2. Назовите виды упругих деформаций.

3. Сформулируйте закон Гука.

4. Что называется механическим напряжением и относительной деформацией?

5. Физический смысл модуля Юнга.

6. Что называется диаграммой растяжения?

7. Что такое стрела прогиба?

8. Выведите рабочую формулу.

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики.– М.: Высш.шк., 2001. – §21.

2. Грабовский Р.И. Курс физики. – СПб.: Лань, 2002. – §§ 10,54.

3. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики: у 3-х кн. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.: Вища шк., 2002. – § 19.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель: ознакомиться с методами измерения момента инерции тел правильной и произвольной геометрической формы, закрепить основные понятия и законы динамики вращательного движения.

Приборы и материалы: крутильный маятник на трех нитях, секундомер,

исследуемое тело.

Теоретическое введение.

Момент инерции является одной из основных характеристик вращательного движения твердого тела.

Вращательное движение абсолютно твердого тела, расстояние между любыми двумя точками которого при движении не изменяется с течением времени, - движение, при котором все точки этого тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой линии, называемой осью вращения.

Абсолютно твердое тело можно представить как систему, состоящую из материальных точек.

Момент инерции тела – мера инерции тела во вращательном движении. Под моментом инерции тела понимается физическая величина равная сумме произведения масс материальных точек, составляющих тело, на квадрат их расстояний до оси вращения.

I= m₁r₁² + m₂r₂² + ... +m_nr_n² = , (1)

где I – момент инерции тела, m_i – масса i-той материальной точки,

r_i – расстояние i-той точки до оси вращения тела.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

, (2)

Где интегрирование ведется по всему объему.

В СИ момент инерции измеряется в [ I ] = кг∙м².

Вычислить момент инерции можно только для тел правильной геометрической формы. Расчеты показывают, что если ось вращения тел проходит через их центр масс, совпадающий с геометрическим центром, то момент инерции некоторых тел можно определить по формулам:

Если ось вращения тела параллельна оси, проходящей через центр инерции, то для вычисления момента инерции тела, то в этом случае применяют теорему Штейнера:

, (3)

где I₀ – момент инерции тела, если ось вращения проходит через центр инерции, d – расстояние между осями, m – масса тела.

Момент силы относительно неподвижной точки О – физическая величина, равная векторному произведению радиус – вектора , проведенному из точки О к точке приложения силы (точка А), на силу (рис.1):

. (4)

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

рис. 1 рис.2

Модуль момента силы:

М = Fr sin  = Fl,

где – угол между векторами и , – кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения (плечо силы).

Единицей измерения момента силы является [M]= Нм.

Под действием момента силы тело приобретает угловое ускорение .

, (5)

где I – момент инерции тела относительно главной оси.

Уравнение (5) называют основным уравнением динамики вращательного движения. Из (5) следует: при действии моментов внешних сил угловое ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции тела.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие поступательное и вращательное движения тела.

В этой работе предлагается ознакомиться с приложением законов динамики вращательного движения и изучить один из методов определения момента инерции тел неправильной геометрической формы.

Описание установки и метода.

Метод основан на использовании крутильных колебаний.

Подвижный диск D (рис. 3) весом Р подвешен на трех нитях одинаковой длинны l. Если повернуть диск вокруг вертикальной оси на некоторый угол, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате чего, платформа начинает совершать крутильные колебания.

Е сли расположить диск так, чтобы точки подвеса диска а, в, с располагались на одинаковом расстоянии друг от друга и на одинаковом расстоянии от геометрической оси диска, то сила натяжения каждой нити будет равна:

(6)

Когда диск поворачивают вокруг его оси вращения на угол  точки а, в, с описывают равные дуги аа₁, вв₁, сс₁, причем: аа₁ = r (7)

Нити отклоняются от своего положения на некоторый угол .

На основании геометрических соображений можно написать аа₁ = l, откуда, сопоставляя с (7), имеем:

(8)

В этом положении диска к каждой точке подвеса (а₁, в₁, с₁) приложены силы: – сила тяжести, – сила натяжения нити.

рис.3 Результирующая этих сил: = направлена по касательной к траектории вращения диска возвращает диск в исходное положение, создавая вращательный момент: M₁ = f₁ r.

Результирующий момент трех возвращающих сил, приложенный к трем точкам диска, будет равен:

M = 3 f₁ r,

где r – плечо силы, т.е. расстояние от центра диска до точки подвеса.

Из чертежа находим

Для малых углов tg   и, следовательно,

Подставив сюда значение  из (8), получим:

(9)

Под действием этого момента сил диск совершает крутильные колебания с периодом Т, а угол  изменяется по закону:

,

где ₀ – максимальный угол, на который отклоняются точки а, в, с диска, при колебаниях.

Известно, что угловая скорость

,

а угловое ускорение

,

или по модулю

(10)

Воспользуемся формулой основного закона для вращательного движения:

M = I ,

где I – момент инерции диска,  – угловое ускорение диска.

Подставив в эту формулу ранее полученные значения момента силы из (9) и углового ускорения из (10), имеем:

Откуда получаем формулу для определения момента инерции тела, подвешенного на нитях:

(11)

Метод определения момента инерции исследуемого тела состоит в наблюдении колебаний первоначально ненагруженного диска, а затем диска вместе с помещенным на него телом. Исследуемое тело помещают на диск так, чтобы ось вращения его, относительно которой определяется момент инерции, совпала с осью вращения диска.

Обозначая в дальнейшем величины, относящиеся к ненагруженному диску индексами 1, а величины, относящиеся к диску с исследуемым телом индексами 2, на основании (11) можно получить формулы для вычисления момента инерции диска:

(11')

и момента инерции диска вместе с исследуемым телом:

(11'')

Очевидно, что искомый момент инерции исследуемого тела:

I₀ = I₂ – I₁ (12)

Порядок выполнения работы.

1. Выписать параметры диска и образца.

Примечание. Значения параметров диска (радиус r, длина нитей ℓ, масса m) и образца

(масса m₀) заданы на них.

2. Определить вес диска Р₁ и вес диска вместе с исследуемым телом Р₂ :

и ,

где g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения..

3. Повернув диск вокруг его геометрической оси на угол  ≈ 6-8, отпускают его, одновременно включая секундомер. С помощью секундомера измерить время t₁ заданного числа крутильных колебаний n ненагруженного диска. (Число колебаний n задается преподавателем).

4. Аналогично п.3 измерить время t₂ – время n колебаний диска, в центре которого размещен исследуемый образец.

5. Все измерения (п.3, 4) провести по 3 раза.

6. Определить периоды колебаний диска без образца Т₁= и с образцом Т₂= .

7. Вычислить по формулам (11') и (11'') моменты инерции I₁ и I₂, а затем по формуле (12) момент инерции исследуемого тела I₀. (Размерность всех величин в СИ).

8. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу:

9. Определить

• абсолютные погрешности прямых измерений и их среднее значение ,

• относительную погрешность: .

10. Отчет составить по указанию преподавателя (для прямых измерений).

Контрольные вопросы.

1. Что называется вращательным движением?

2. Сформулируйте понятие момента инерции материальной точки.

Единицы измерения момента инерции.

3. Чему равен момент инерции твердого тела?

4. В чем суть метода, описанного в работе, по определению момента инерции тела?

5. Кинематические уравнения вращательного движения.

6. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. Приведите в соответствие основные величины и формулы для поступательного и вращательного движения.

9. Выведите расчетную формулу.

Литература.

1. Трофимова Т.И. Курс физики.– М.: Высш.шк., 2001. – §§ 16,18.

2. Грабовский Р.И. Курс физики. – СПб.: Лань, 2002. – §§ 21,22.

3. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики: у 3-х кн. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.: Вища шк., 2002. – §§ 35,36,39.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

ПРИ ПОМОЩИ КРЕСТОВОГО МАЯТНИКА

Цель: закрепить знание основных понятий и законов вращательного движения

тела; научиться определять момент инерции тела с помощью маятника

Обербека.

Приборы и материалы: маятник Обербека, набор грузов, штангенциркуль

Теоретическое введение.

Моментом инерции тела относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси вращения:

, (1)

где I – момент инерции тела, m_i – масса i-той материальной точки,

r_i – расстояние i-той точки до оси вращения тела.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

, (2)

где интегрирование ведется по всему объему.

В СИ момент инерции измеряется в [ I ] = кг∙м².

Для тел правильной геометрической формы момент инерции относительно оси вращения, проходящей через их центр масс, можно определить по формулам:

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его инерции I_С относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

(3)

Момент инерции характеризует инертность вращающегося тела. Основные законы вращательного движения аналогичны основным законам поступательного движения.

Момент силы относительно неподвижной точки О – физическая величина, равная векторному произведению радиус – вектора , проведенному из точки О к точке приложения силы (точка А), на силу (рис.1):

. (4)

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

рис. 1 рис.2

Модуль момента силы: М = Fr sin  = Fl,

где – угол между векторами и , – кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения (плечо силы).

Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О на оси z (рис.2). Если ось совпадает с направлением вектора , то момент равен:

. (5)

Единицей измерения момента силы является [M]= Нм.

Основное уравнение динамики вращательного движения (II-й закон Ньютона) записывается аналогично записи II-го закона Ньютона для поступательного движения:

F = ma, – для поступательного движения

M = I, – для вращательного движения,

где М – момент силы, I – момент инерции,  – угловое ускорение.

Описание прибора и метода.

В данной работе предлагается изучить законы вращательного движения на примере крестового маятника – маятника Обербека (рис. 3).

Прибор представляет собой крестовину, вращающуюся вокруг своей горизонтальной оси. С крестовиной скреплен шкив 1 диаметром d, на который можно наматывать нить с грузом 2. При опускании груза сила натяжения нити приводит во вращение крестовину.

На втулке прикреплен тормозной электромагнит, Электромагнит, после подведения к нему питающего напряжения, фрикционной муфтой удерживает крестовину (с грузами или без них) в состоянии покоя. Подвижный кронштейн 3 можно перемещать вдоль колонны и фиксировать его на любой высоте, определяя, таким образом, расстояние h, пройденное грузом на нити. На этом кронштейне установлен первый фотоэлектрический датчик, который формирует импульс при перекрывании светового луча грузом. На нижнем кронштейне 5 расположен второй фотодатчик, сигнализирующий о завершении движения груза. На крестовине могут

рис. 3 быть укреплены при помощи винтов на одинаковых расстояниях от оси вращения специальные грузы 4.

Меняя положение их на крестовине, можно менять момент инерции системы.

Движущийся груз создает вращающий момент, который зависит от выбранного радиуса шкива. Он получает такое же линейное ускорение, что и точки нити:

, (6)

Ускорение можно определить из уравнения пути равноускоренного движения без начальной скорости:

, (7)

где h – путь, пройденный грузом, t – время падения груза.

Все точки вращающейся системы получают одинаковое угловое ускорение:

(8)

Соотношение между угловым и линейным ускорением (r – радиус шкива)

, (9)

На основании уравнений (7), (8), (9):

, (10)

где d – диаметр шкива.

У читывая, что груз движется с ускорением (а), можно найти величину момента силы натяжения нити:

М = F · r,

где F – касательная к шкиву сила, вращающая систему.

Рассмотрим силы, действующие на гирю.

На нее действует сила тяжести ( ) и сила натяжения нити ( ) (рис. 4).

Применим II закон Ньютона. Спроектируем силы на вертикальное направление и получим:

mg - F = ma

или F = m(g – a)

рис. 4 На шкив действует касательная сила F = - F (по III закону Ньютона), под действием которой диск вращается равноускоренно.

Учитывая вышесказанное, имеем:

М = F · r = m(g – a)· r

Основное уравнение динамики вращательного движения запишется тогда так:

Решив это уравнение относительно I , получим:

(11)

Расчётной формулой (11) пользуются при определении момента инерции системы по высоте поднятия h гири массой m и времени опускания t. Момент инерции грузов определяется как разность моментов инерции крестовины с грузами (I₁) и без грузов (I₀): I = I₁ – I₀ (12)

Порядок выполнения работы

1. Записать в таблицу значение массы m выбранного груза.

2. Измерить с помощью штангенциркуля диаметр шкива d.

3. Измерить высоту h, с которой опускается груз массой m (расстояние от верхнего фотоэлемента до нижнего).

4. Измерить время опускания груза при ненагруженной крестовине t₀ с высоты h. Опыт проделать 5-7 раз.

5. Надеть грузы на крестовину, попарно центрируя, и измерить время опускания груза при нагруженной крестовине t₁. Опыт проделать 5-7 раз.

6. Подставив значения m, d, t₀ и h в расчетную формулу (11), получить значение собственного момента инерции маятника I₀.

7. Подставив значения m, d, t₁ и h в расчетную формулу (11), получить значение суммарного момента инерции нагруженного маятника I.

8. Момент инерции грузов вычислить по формуле (12).

9. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

   №п/п	m, кг	h, м	d, м	t0, с	I0, кг∙м2	t1, с	I1, кг∙м2	I, кг∙м2	I, кг∙м2	Е
   1.										х
   2.										х
   3.										х
   4.										х
   5.										х
   6.										х
   7.										х
   ср.зн.

10. Определить

• абсолютные погрешности прямых измерений и их среднее значение ,

• относительную погрешность: Е= .

11. Составить отчет по указанию преподавателя (для прямых измерений).

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции тела?

2. Что называется моментом силы относительно точки и относительно оси?

3. Запишите основное уравнение динамики для вращательного движения.

4. Способы проверки основного уравнения динамики вращательного

движения.

5. Как можно определить момент инерции маятника?

6. Сформулируйте теорему Штейнера.

7. Выведите расчетную формулу.

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики.– М.: Высш.шк., 2001. – §§ 16,17,18.

2. Грабовский Р.И. Курс физики. – СПб.: Лань, 2002. – §§ 21,22,23.

3. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики: у 3-х кн. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.: Вища шк., 2002. – §§ 35,36,39.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.7

ИССЛЕДОВАНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Цель: усвоить понятия свободного падения, ускорения свободного падения, экспериментально определить ускорение свободного падения при помощи физического маятника.

Приборы и материалы: оборотный маятник, секундомер, миллиметровая линейка, призма для нахождения центра инерции физического маятника.

Теоретическое введение.

Свободным падением называется движение тела в вакууме под действием только силы тяжести. Ускорение, с которым движутся все тела в вакууме только под действием силы тяжести, называется ускорением свободного падения, которое направлено к центру Земли.

Вблизи Земли все тела свободно падают с примерно одинаковым ускорением g  9,81 м/с². На больших высотах h, сравнимых с расстоянием до центра Земли, ускорение свободного падения будет зависеть от высоты над поверхностью. Вследствие сплюснутости Земли у полюсов и ее суточного вращения, ускорение свободного падения зависит от географической широты: на экваторе эти два фактора уменьшают g на 0,5% по сравнению с его значением на полюсах.

Ускорение свободного падения определяется различными методами. Одним из них является применение физического маятника.

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания относительно неподвижной оси, не проходящей через его центр инерции.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Период колебаний математического маятника равен:

, (1)

где g – ускорение свободного падения, l – длина математического маятника.

Математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке.

Для физического маятника период колебаний равен:

, (2)

где l_пр – приведенная длина физического маятника.

Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Известно, что приведенная длина маятника может быть выражена через его момент инерции относительно оси вращения І, расстояние d между осью вращения и центром инерции и массу маятника m:

l _пр = (3)

Оборотный физический маятник (рис.1) состоит из металлического стержня, вдоль которого могут перемещаться грузы и опорные призмы (О₁,О₂), которые используются для подвешивания маятника. Для периодов колебания маятника Т₁ и Т₂ при его подвешивании на одной, а затем на другой призмах можно записать соответственно выражениям (2), (3).

, , (4)

где d₁ и d₂ – расстояния между точками опоры и центром инерции маятника С (рис.1), І1 и І 2 – момент инерции маятника относительно точек опоры.

Согласно теореме Штейнера:

І₁ = І₀ + m d₁², І₂ = І₀ + m d₂², (5)

где І₀ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

Подставим (5) в (4), получим:

, (6)

Возведя (6) в квадрат, получим:

, ,

Преобразуем данные выражения:

, ,

(7)

(8)

Применив метод алгебраического сложения к (7),(8), имеем:

Откуда найдем

или (9)

Порядок выполнения работы.

1. Подвесить маятник на одной из опорных призм (О₁ или О₂). Отклонить конец маятника на 3-4 см, с помощью секундомера измерить время t₁ заданного числа колебаний n. (Число колебаний n задается преподавателем). Опыт повторить 3 раза.

2. Перевернуть маятник, подвесив его на второй опорной призме. Измерить время t₂ заданного числа колебаний n. Опыт повторить 3 раза.

3. Вычислить соответствующие периоды колебаний Т₁ = и Т₂= .

4. Определить центр инерции маятника – точку С (рис. 1), положив маятник на ребро специальной призмы и добившись равновесия. Затем измерить расстояние d₁ и d₂ – расстояния между точками опоры и центром инерции маятника С.

5. Подставив полученные значения в расчётную формулу (9), вычислить значение ускорения свободного падения g.

6. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

7. Определить

- абсолютные погрешности прямых измерений и их среднее значение ,

- относительную погрешность: Е= .

8. Составить отчет по указанию преподавателя (для прямых измерений).

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение математического маятника и запишите формулу для периода его колебаний.

2. Почему период математического маятника не зависит от его массы?

3. Что такое физический маятник? Запишите формулу периода колебаний

физического маятника.

4. Что такое приведенная длина физического маятника?

5. Какой физический маятник называется оборотным?

6. От каких параметров зависит ускорение свободного падения?

7. Объясните и запишите основные уравнения динамики вращательного движения.

8. Cформулируйте теорему Штейнера.

Литература.

1. Трофимова Т.И. Курс физики.– М.: Высш.шк., 2001. – §§ 18,23,142.

2. Грабовский Р.И. Курс физики. – СПб.: Лань, 2002. – §§ 15,22,30.

3. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики: у 3-х кн. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.: Вища шк., 2002. – §§ 21, 39,64.

Приложение 1

Образец оформления титульного листа

МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ

ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физико-математических дисциплин

факультет_______________

группа_______________

Ф.И.О._______________

Отчет по лабораторной работе №_____

Допущен
Выполнил
Сдал

Луганск – 200__

Приложение 2

Образец формы отчета при прямых измерениях

Название работы

1. Принципиальная схема установки:

Рис.1

2. Расчётная формула:

3. Расшифровка обозначений:

4. Таблица прямых измерений:

   № п/п
   1
   ….
   п
   Ср. знач.

5. Расчёт относительной погрешности:

6. Расчет среднеквадратичного отклонения:

,

n – число измерений

7. Расчет параметра t:

8. Расчет достоверности результата:

9. Окончательный результат:

при Е = ….% и достоверности р = …

Приложение 3

Образец формы отчета при косвенных измерениях

Тема. Определение коэффициента вязкости жидкости методом истечения жидкости через узкий канал.

1. Принципиальная схема установки:

2. Расчётная формула:

3. Расшифровка обозначений:

η – коэффициент вязкости исследуемой жидкости,

η₀ – коэффициент вязкости эталонной жидкости,

t – время истечения исследуемой жидкости,

t₀ – время истечения эталонной жидкости,

ρ – плотность исследуемой жидкости,

ρ₀ – плотность эталонной жидкости.

4. Таблица прямых измерений:

5. Результаты прямых измерений : ;

6. Расчёт среднего значения определяемой величины:

7. Расчёт относительной погрешности:

8. Расчёт абсолютной погрешности: _ср = Е _ср.

9. Окончательный результат:  = _ср _ср Е = ….%

Приложение 4

Таблица Стьюдента для определения достоверности результатов

Измерений рср по значению параметра t

57