4.Алгарытмiчная схема Маркава. Нармальныя алгарытмы.

Норма́льный алгори́тм Ма́ркова (НАМ, также марковский алгоритм) — один из стандартных способов формального определения понятия алгоритма (другой известный способ — машина Тьюринга)

Основная гипотеза теории алгоритмов в форме Маркова: всякий алгоритм нормализуем.

Нормальные алгоритмы являются вербальными, то есть предназначенными для применения к словам в различных алфавитах.

Определение всякого нормального алгоритма состоит из двух частей: определения алфавита алгоритма (к словам из символов которого алгоритм будет применяться) и определения его схемы. Схемой нормального алгоритма называется конечный упорядоченный набор так называемых формул подстановки, каждая из которых может быть простой или заключительной. Простыми формулами подстановки называются слова вида  , где   и   — два произвольных слова в алфавите алгоритма (называемые, соответственно, левой и правой частями формулы подстановки). Аналогично, заключительными формулами подстановки называются слова вида  , где   и   — два произвольных слова в алфавите алгоритма. При этом предполагается, что вспомогательные буквы   и   не принадлежат алфавиту алгоритма (в противном случае на исполняемую ими роль разделителя левой и правой частей следует избрать другие две буквы).

Любой нормальный алгоритм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот — любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгорифму. Вариант тезиса Чёрча — Тьюринга, сформулированный применительно к нормальным алгоритмам, принято называть «принципом нормализации».

5.Праблема алгарытмiчнай невырашальнасцi. Тэарэмы Гёдэля аб непаўнаце.

Доказано существование ряда задач которые не могут быть решены алгоритмически, что делает невозможным их решение на любом вычислительном устройстве.

Функцию называют вычисляемой (англ. computable), если существует машина Тьюринга(МТ), которая вычисляет значение для всех элементов множества определения функции. Если такой машины не существует, функция называют невычисляемой. Функция будет считаться невычисляемой, даже если существуют МТ, способные вычислить значение для подмножества из всего множества входных данных. Т.е не все возможные варианты. Если результатом вычисления функции является логическое выражение «истина» или «ложь» (или множество {0, 1}), то задача может быть решаемой или нерешаемой в зависимости от вычисляемости функции. Важно точно указывать допустимое множество входных данных, поскольку задача может быть решаемой для одного множества и нерешаемой для другого.

Одной из первых задач, для которой была доказана нерешаемость, является проблема остановки. Формулируется она следующим образом:

Имея описание программы для МТ, можно определить, завершит ли работу программа по истечению времени или будет работать бесконечно, получив некоторые входные данные.

Доказательство неразрешимости проблемы остановки важно тем, что к ней можно свести другие задачи. Например, проблему остановки на пустой строке (когда нужно определить для заданной машины Тьюринга, остановится ли она, будучи запущенной на пустой строке) можно свести к простой задаче остановки, доказав тем самым ее неразрешимость

Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.