![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1. Уравнение неразрывности
- •§ 2. Уравнения движения и равновесия
- •Уравнением моментов
- •§ 3. Уравнения состояния (математические модели)
- •§ 4. Уравнения состояния гидромеханики
- •6. Модель
- •§5.Основные уравнения теории фильтрации
- •§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
- •§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
- •§ 7. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности
- •§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
Получить
аналитическое решение задачи механики
деформируемого твердого тела – значит
определить прежде всего компоненты
вектора перемещения EMBED Equation.3
,
тензоров деформаций EMBED Equation.3
и напряжения EMBED Equation.3
в
любой точке области D,
занятой телом, и в любой момент времени.
В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.
Трем уравнениям движения [см. формулу (2.9)]
EMBED
Equation.3
.
(2.98)
Шести уравнениям механического состояния
EMBED
Equation.3
(2.99)
соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (2.74)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (2.77)]; при ползучести среды [см. формулу (2.91)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов.
Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]
EMBED
Equation.3
(2.100)
и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций EMBED Equation.3 .
В
уравнениях (2.98) – (2.100) использована
декартова система координат EMBED
Equation.3
и следующие введенные ранее обозначения:
EMBED Equation.3
- проекции массовых сил и ускорения;
EMBED Equation.3
-
плотность тела; EMBED Equation.3
- модуль сдвига; EMBED Equation.3
- коэффициент Ламе; EMBED Equation.3
- модуль объемного сжатия; Е,
v
– модуль Юнга и коэффициент Пуассона;
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
- модули пластичности и ползучести,
являющиеся соответственно функциями
интенсивности деформации сдвига Г и
интенсивности скорости деформации
сдвига Н (см. лекцию 1); EMBED Equation.3
- компоненты девиатора деформации;
EMBED Equation.3
- объемная деформация; EMBED Equation.3
- компоненты девиатора скорости
деформации; EMBED Equation.3
- символ Кронекера:
EMBED
Equation.3
где
EMBED Equation.3
- скорость объемной деформации; EMBED
Equation.3
и EMBED Equation.3
- компоненты тензоров деформаций и
скоростей деформаций; связанные
соответственно с компонентами перемещения
EMBED Equation.3
и скорости EMBED Equation.3
соотношениями Коши:
EMBED
Equation.3
(2.101)
При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (2.99), изменится. В лекции 1 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.
Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (2.98) – (2.100) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.
Если
на поверхности S,
ограничивающей область D
тела, задан вектор напряжения EMBED
Equation.3
,
то граничные условия записываются в
виде (см. лекцию 1)
EMBED Equation.3
(2.102)
где
EMBED Equation.3
- нормаль к поверхности S;
EMBED Equation.3
- проекции вектора EMBED Equation.3
на оси выбранной системы координат; М
– точка поверхности; t
– время.
В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.
Если
на поверхности S
заданы условия для компонент вектора
перемещения EMBED Equation.3
(или
скорости EMBED Equation.3
)
EMBED Equation.3
(2.103)
то
говорят о второй
граничной задаче,
где EMBED Equation.3
- известные функции точек поверхности
и времени.
В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (2.102), а на другой – вида (2.103), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.
Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).
Решить
задачу в перемещениях – значит представить
исходную систему уравнений, граничные
и начальные условия через функции EMBED
Equation.3
.
Для этого достаточно подставить формулы
(2.99) и (2.101) в уравнения (2.98) и граничные
условия (2.102), полученная таким образом
система трех уравнений и трех граничных
условий будет содержать только перемещения
EMBED Equation.3
.
В этом случае надобность в уравнениях
(2.100) отпадает. Они могут служить лишь
для контроля полученного решения.
Если
первая граничная задача решается в
напряжениях EMBED Equation.3
,
то эти функции, кроме уравнений (2.98),
должны удовлетворять и системе уравнений
(2.100), в которой необходимо EMBED Equation.3
(или EMBED Equation.3
)
выразить через EMBED Equation.3
с
помощью формул (2.99).
Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (2.99). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.
Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.