6. Модель

неньютоновских многокомпонентных смесей вязкопластичных жидкостей при любых режимах течения.

Таким образом, общая задача гидромеханики в определении компонент v_i (i = 1, 2, 3) вектора скорости EMBED Equation.3 , компонент симметричного девиатора напряжений s_ij =s_ji (i, j=1, 2, 3), давления р и плотности ρ жидкости в любой точке области.

В общем случае эти одиннадцать искомых функций должны в ламинарном режиме течения удовлетворять следующей системе дифференциальных уравнений:

движения

EMBED Equation.3 (i=1, 2, 3); (2.21)

неразрывности движения или сохранения массы

EMBED Equation (2.22)

и механического состояния

s = f(p); (2.23)

EMBED Equation. (2.24)

Подставляя в уравнения (2.21) соотношения (2.24)можно получить уравнения Навье — Стокса, Генки — Ильюшина и др.

При турбулентных течениях жидкостей и газов, согласно сказанному выше, система уравнений (2.21) — (2.24) сохраняет свой вид, но под величинами v_i, EMBED Equation.3 , р необходимо понимать усреднен­ные по времени значения EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , где напряжения Рейнольдса EMBED Equation.3 связаны с компонентами средних скоростей деформаций EMBED Equation.3 , например, уравнением Прандтля (2.20).

Для удобства выпишем обозначения основных величин:

EMBED Equa - компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформаций соответственно;

EMBED Equation.3 - символ Кронекера;

EMBED Equation.3 — соотношения Коши; (2.25)

EMBED Equation.3 — скорость деформации объема;

EMBED Equation.3 — проекции объемных сил и ускорении;

EMBED Equation.3 - (2.26)

интенсивность касательных напряжении;

EMBED Equation.3 - (2.27)

интенсивность скорости деформации сдвига при ξ=0.

Единственность и однозначность решения системы дифференциальных уравнений (2.21) - (2.24) возможны лишь при выполнении граничных условий:

EMBED Equation.3 — на поверхности контакта жидкость - твердое тело и (или) p=p₀ - на свободной поверхности, где EMBED Equation.3 , р₀ - заданные величины скорости твердого тела и внешнее давление.

Общего аналитического решения системы уравнений (2.21) — (2.24) не существует, и, как правило, в этом нет нужды, если речь идет о прикладных задачах. Обычно при решении конкретной инженерной задачи вводят ряд геометрических и физических допущений, не умаляющих, однако, основного характерного признака движения. Здесь важно свести уравнения и граничные условия к простейшему виду так, чтобы сохранить лишь главную цель задачи. Если все же граничная задача оказывается сложной, неподдающейся точному аналитическому решению, то применяют какой-либо приближенный метод решения или ставят эксперимент, используя для этого основные положения теории подобия.

В любом случае теоретической основой решения любой задачи гидромеханики является система уравнений (2.21) — (2.24) в том ином упрощенном виде.