§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.

1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде

Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси

EMBED Equation.3 ,

(2.30)

Или в проекциях на оси декартовой системы координат

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.

Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В практике принято проницаемость измерять в мкм². Среда имеет проницаемость 1 мкм² если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10^-4 м² расход жидкости, вязкость которой 10^-3 Па^.с, составляет 10^-6 м³/с, т. е. 1мкм² = 10^-12 м².

Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.

Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость

EMBED Equation.3 ,

а Козени получил

EMBED Equation.3 .

Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.

Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения

EMBED Equation.3 ,

неразрывности движения или сохранения массы

EMBED Equation.3 ,

и механического состояния

EMBED Equation.3 ,

в которых отброшены силы инерции EMBED Equation.3 , а сумма сил EMBED Equation.3 заменена силами трения Ньютона EMBED Equation.3 . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).

EMBED Equation.3

Имеем симметричный девиатор напряжений

Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от EMBED Equation.3 , т. е.

EMBED Equation.3

(2.31)

где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что EMBED Equation.3 .

К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного EMBED Equation.3 , заполнения элементарного объема EMBED Equation.3 сплошной среды принимает вид

EMBED Equation.3 .

(2.32)

Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное

классическое уравнение теории фильтрации:

EMBED Equation.3 ,

(2.33)

где EMBED Equation.3 – коэффициент пьезопроводности среды; EMBED Equation.3 – приведенный модуль объемной упругости среды; EMBED Equation.3 – оператор Лапласа. Пьезопроводность EMBED Equation.3 имеет размерность м²/с.

Если EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 имеем уравнение Лапласа

EMBED Equation.3 ,

(2.34)

которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при EMBED Equation.3 , т. е. при установившемся режиме фильтрации.

Для однозначного определения поля давления EMBED Equation.3 в заданной области EMBED Equation.3 , ограниченной поверхностью EMBED Equation.3 , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при EMBED Equation.3 )

EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3

(2.35)

и при EMBED Equation.3 граничным условиям:

если на поверхности EMBED Equation.3 (или ее части) задано давление EMBED Equation.3 , то

EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 ,

(2.36)

если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то

EMBED Equation.3 ,

(2.37)

если поверхность EMBED Equation.3 покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то

EMBED Equation.3 ,

(2.38)

где EMBED Equation.3 – характерный линейный размер; EMBED Equation.3 – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».

Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.

г.ИШИМ 27-05-2010

2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.

Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси

EMBED Equation.3 ,

(2.39)

где EMBED Equation.3 – тензор проницаемости.

Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора EMBED Equation.3 , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,

(2.40)

где EMBED Equation.3 – проницаемости вдоль главных осей EMBED Equation.3 анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле

EMBED Equation.3 .

(2.41)

Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации

EMBED Equation.3 .

(2.42)

Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).

Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:

для пространства

EMBED Equation.3

для плоскости

EMBED Equation.3

(2.43)

где EMBED Equation.3 – новые координаты.

Это означает геометрическое преобразование анизотропной области EMBED Equation.3 в некоторую изотропную область EMBED Equation.3 , проницаемость которой

EMBED Equation.3

(2.44)

При этом граница EMBED Equation.3 области EMBED Equation.3 преобразуется в границу EMBED Equation.3 области EMBED Equation.3 . Например, область, ограниченная окружностью

EMBED Equation.3 ,

(2.45)

преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом

EMBED Equation.3 .

(2.46)

или в параметрическом виде

EMBED Equation.3 .

где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - полуоси элипса

Для области EMBED Equation.3 имеем уравнение Лапласа

EMBED Equation.3 ,

решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).

(24-03) НР-08-3 10-04-2010

3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.

Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость EMBED Equation.3 , проницаемость EMBED Equation.3 , скорость фильтрации EMBED Equation.3 и давление EMBED Equation.3 , связанные законом Дарси

EMBED Equation.3

(2.47)

и уравнениями неразрывности

EMBED Equation.3

(2.48)

где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;

EMBED Equation.3 .

(2.49)

– интенсивность перетока жидкости между этими системами; EMBED Equation.3 – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.

При этом пористости EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 являются функциями обоих давлений, т.е.

EMBED Equation.3 .

(2.50)

Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:

1. объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять EMBED Equation.3 ;

1. изменение пористости EMBED Equation.3 происходит в основном за счет изменения порового давления EMBED Equation.3 и поэтому при небольших изменениях этого давления

EMBED Equation.3 ;

(2.51)

2. проницаемость EMBED Equation.3 , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь EMBED Equation.3 ;

3. жидкость слабосжимаема так что

EMBED Equation.3 ,

(2.52)

где EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;

4. вязкость жидкости EMBED Equation.3 .

Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.

В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид

EMBED Equation.3 .

Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим

EMBED Equation.3 ,

(2.53)

где EMBED Equation.3 – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; EMBED Equation.3 – своеобразная пьезопроводность среды.

Параметр EMBED Equation.3 имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10^-1 до 10⁶ м².

НР-08 была лекция 10-04=2010

Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению

EMBED Equation.3 ,

(2.54)

где EMBED Equation.3 – параметр, называемый временем запаздывания.

Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр EMBED Equation.3 . В пределе, когда EMBED Equation.3 , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.

При жестком режиме фильтрации EMBED Equation.3 или при установившейся фильтрации EMBED Equation.3 уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).

Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при EMBED Equation.3 .

Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .

Если начальные условия и EMBED Equation.3 удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления EMBED Equation.3 , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление EMBED Equation.3 .

В противном случае задачу следует решать относительно давления EMBED Equation.3 . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.

Если начальное распределение давления EMBED Equation.3 согласовано с граничными условиями EMBED Equation.3 вида

EMBED Equation.3 ,

(2.55)

при EMBED Equation.3 , то в таком виде граничная задача и рассматривается.

Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – невязка существующего граничного условия:

EMBED Equation.3

(2.56)

Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону EMBED Equation.3 . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

После решения граничной задачи относительно порового давления EMBED Equation.3 распределение давления EMBED Equation.3 в трещинах определяется по формуле (2.53)

EMBED Equation.3

а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле

(2.55)

EMBED Equation.3

4. При изучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.

Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости EMBED Equation.3 во времени и представляют это уравнение в виде

EMBED Equation.3 .

(2.57)

К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа

EMBED Equation.3

и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси

EMBED Equation.3

(2.58)

где в общем случае EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 - температура.

В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре EMBED Equation.3 с вязкостью µ=const и плотностью

EMBED Equation.3 ,

(2.59)

где EMBED Equation.3 - постоянные величины.

Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа

EMBED Equation.3 ,

(2.60)

которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.

Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на EMBED Equation.3 , а правую – на некоторое характерное давление EMBED Equation.3 , например давление в невозмущенной части пласта.

Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение

EMBED Equation.3 ,

(2.61)

которое аналогично уравнению (2.33), где EMBED Equation.3 . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .

5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.

Рис. 11. Возможные виды нелинейного закона фильтрации

Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:

1. высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса EMBED Equation.3 превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);

2. ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);

3. малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).

Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации

EMBED Equation.3 ,

(2.62)

а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом

EMBED Equation.3

(2.63)

где, по данным Е. М. Минского, EMBED Equation.3 , а, по данным Б. И. Султанова, EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 - эффективный диаметр пор; EMBED Equation.3 - предельное напряжение сдвига.

В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации

EMBED Equation.3 ,

(2.64)

EMBED Equation.3 ,

(2.65)

которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь EMBED Equation.3 - параметры модели; EMBED Equation.3 - характерное значение градиента давления; EMBED Equation.3 - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).