- •§ 1. Уравнение неразрывности
- •§ 2. Уравнения движения и равновесия
- •Уравнением моментов
- •§ 3. Уравнения состояния (математические модели)
- •§ 4. Уравнения состояния гидромеханики
- •6. Модель
- •§5.Основные уравнения теории фильтрации
- •§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
- •§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
- •§ 7. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности
- •§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде
Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси
EMBED Equation.3 , |
(2.30) |
Или в проекциях на оси декартовой системы координат
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , |
|
где EMBED Equation.3 называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.
Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.
В практике принято проницаемость измерять в мкм2. Среда имеет проницаемость 1 мкм2 если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10-4 м2 расход жидкости, вязкость которой 10-3 Па.с, составляет 10-6 м3/с, т. е. 1мкм2 = 10-12 м2.
Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.
Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость
EMBED Equation.3 , |
|
а Козени получил
EMBED Equation.3 . |
|
Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.
Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения
EMBED Equation.3 , |
|
неразрывности движения или сохранения массы
EMBED Equation.3 , |
|
и механического состояния
EMBED Equation.3 , |
|
в которых отброшены силы инерции EMBED Equation.3 , а сумма сил EMBED Equation.3 заменена силами трения Ньютона EMBED Equation.3 . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).
EMBED Equation.3 |
|
Имеем симметричный девиатор напряжений
Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от EMBED Equation.3 , т. е.
EMBED Equation.3 |
(2.31) |
где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что EMBED Equation.3 .
К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного EMBED Equation.3 , заполнения элементарного объема EMBED Equation.3 сплошной среды принимает вид
EMBED Equation.3 . |
(2.32) |
Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное
классическое уравнение теории фильтрации:
EMBED Equation.3 , |
(2.33) |
где EMBED Equation.3 – коэффициент пьезопроводности среды; EMBED Equation.3 – приведенный модуль объемной упругости среды; EMBED Equation.3 – оператор Лапласа. Пьезопроводность EMBED Equation.3 имеет размерность м2/с.
Если EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 имеем уравнение Лапласа
EMBED Equation.3 , |
(2.34) |
которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при EMBED Equation.3 , т. е. при установившемся режиме фильтрации.
Для однозначного определения поля давления EMBED Equation.3 в заданной области EMBED Equation.3 , ограниченной поверхностью EMBED Equation.3 , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при EMBED Equation.3 )
EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 |
(2.35) |
и при EMBED Equation.3 граничным условиям:
если на поверхности EMBED Equation.3 (или ее части) задано давление EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , |
(2.36) |
если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то
EMBED Equation.3 , |
(2.37) |
если поверхность EMBED Equation.3 покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то
EMBED Equation.3 , |
(2.38) |
где EMBED Equation.3 – характерный линейный размер; EMBED Equation.3 – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».
Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.
г.ИШИМ 27-05-2010
2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.
Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси
EMBED Equation.3 , |
(2.39) |
где EMBED Equation.3 – тензор проницаемости.
Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора EMBED Equation.3 , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , |
(2.40) |
где EMBED Equation.3 – проницаемости вдоль главных осей EMBED Equation.3 анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле
EMBED Equation.3 . |
(2.41) |
Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации
EMBED Equation.3 . |
(2.42) |
Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).
Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:
для пространства
EMBED Equation.3 |
|
для плоскости
EMBED Equation.3 |
(2.43) |
где EMBED Equation.3 – новые координаты.
Это означает геометрическое преобразование анизотропной области EMBED Equation.3 в некоторую изотропную область EMBED Equation.3 , проницаемость которой
EMBED Equation.3 |
(2.44) |
При этом граница EMBED Equation.3 области EMBED Equation.3 преобразуется в границу EMBED Equation.3 области EMBED Equation.3 . Например, область, ограниченная окружностью
EMBED Equation.3 , |
(2.45) |
преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом
EMBED Equation.3 . |
(2.46) |
или в параметрическом виде
EMBED Equation.3 . |
|
где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - полуоси элипса
Для области EMBED Equation.3 имеем уравнение Лапласа
EMBED Equation.3 , |
|
решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).
(24-03) НР-08-3 10-04-2010
3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.
Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость EMBED Equation.3 , проницаемость EMBED Equation.3 , скорость фильтрации EMBED Equation.3 и давление EMBED Equation.3 , связанные законом Дарси
EMBED Equation.3 |
(2.47) |
и уравнениями неразрывности
EMBED Equation.3 |
(2.48)
|
где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;
EMBED Equation.3 . |
(2.49) |
– интенсивность перетока жидкости между этими системами; EMBED Equation.3 – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.
При этом пористости EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 являются функциями обоих давлений, т.е.
EMBED Equation.3 . |
(2.50) |
Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:
объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять EMBED Equation.3 ;
изменение пористости EMBED Equation.3 происходит в основном за счет изменения порового давления EMBED Equation.3 и поэтому при небольших изменениях этого давления
EMBED Equation.3 ; |
(2.51) |
проницаемость EMBED Equation.3 , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь EMBED Equation.3 ;
жидкость слабосжимаема так что
EMBED Equation.3 , |
(2.52) |
где EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;
вязкость жидкости EMBED Equation.3 .
Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.
В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид
EMBED Equation.3 . |
|
Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим
EMBED Equation.3 , |
(2.53) |
где EMBED Equation.3 – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; EMBED Equation.3 – своеобразная пьезопроводность среды.
Параметр EMBED Equation.3 имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10-1 до 106 м2.
НР-08 была лекция 10-04=2010
Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению
EMBED Equation.3 , |
(2.54) |
где EMBED Equation.3 – параметр, называемый временем запаздывания.
Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр EMBED Equation.3 . В пределе, когда EMBED Equation.3 , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.
При жестком режиме фильтрации EMBED Equation.3 или при установившейся фильтрации EMBED Equation.3 уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).
Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при EMBED Equation.3 .
Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .
Если начальные условия и EMBED Equation.3 удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления EMBED Equation.3 , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление EMBED Equation.3 .
В противном случае задачу следует решать относительно давления EMBED Equation.3 . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.
Если начальное распределение давления EMBED Equation.3 согласовано с граничными условиями EMBED Equation.3 вида
EMBED Equation.3 , |
(2.55) |
при EMBED Equation.3 , то в таком виде граничная задача и рассматривается.
Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – невязка существующего граничного условия:
EMBED Equation.3 |
(2.56) |
Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону EMBED Equation.3 . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
После решения граничной задачи относительно порового давления EMBED Equation.3 распределение давления EMBED Equation.3 в трещинах определяется по формуле (2.53)
EMBED Equation.3
а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле
(2.55)
EMBED Equation.3
4. При изучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.
Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости EMBED Equation.3 во времени и представляют это уравнение в виде
EMBED Equation.3 . |
(2.57) |
К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа
EMBED Equation.3 |
|
и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси
EMBED Equation.3 |
(2.58) |
где в общем случае EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 - температура.
В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре EMBED Equation.3 с вязкостью µ=const и плотностью
EMBED Equation.3 , |
(2.59) |
где EMBED Equation.3 - постоянные величины.
Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа
EMBED Equation.3 , |
(2.60) |
которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.
Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на EMBED Equation.3 , а правую – на некоторое характерное давление EMBED Equation.3 , например давление в невозмущенной части пласта.
Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение
EMBED Equation.3 , |
(2.61) |
которое аналогично уравнению (2.33), где EMBED Equation.3 . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .
5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11. Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса EMBED Equation.3 превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
EMBED Equation.3 , |
(2.62) |
а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом
EMBED Equation.3 |
(2.63) |
где, по данным Е. М. Минского, EMBED Equation.3 , а, по данным Б. И. Султанова, EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 - эффективный диаметр пор; EMBED Equation.3 - предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
EMBED Equation.3 , |
(2.64) |
EMBED Equation.3 , |
(2.65) |
которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь EMBED Equation.3 - параметры модели; EMBED Equation.3 - характерное значение градиента давления; EMBED Equation.3 - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).